克莱茵群英文解释翻译、克莱茵群的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 kleiunian group

分词翻译：

克的英语翻译：

gram; gramme; overcome; restrain
【医】 G.; Gm.; gram; gramme

茵的英语翻译：

mattress

群的英语翻译：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【医】 group; herd

专业解析

克莱茵群（Klein Group）是群论中具有特殊结构的基础数学概念，其英文对应术语为"Klein four-group"，记作$V_4$。该群由德国数学家菲利克斯·克莱茵（Felix Klein）于1884年提出，是四元素阿贝尔群的最小非循环实例，其群结构可表示为： $$ V_4 = { e, a, b, c } $$ 其中每个非单位元素的平方等于单位元$e$，且满足运算规则$a cdot b = c$、$a cdot c = b$、$b cdot c = a$。

在拓扑学中，克莱茵群与克莱茵瓶（Klein bottle）的对称性研究密切相关。其独特的对合性质（每个元素均为二阶元素）使其成为量子力学自旋系统和晶体学空间群构造的重要工具。

该群的矩阵表示常采用二维线性空间中的置换矩阵，例如： $$ a rightarrow begin{pmatrix} 1 & 00 & -1 end{pmatrix}, quad b rightarrow begin{pmatrix} -1 & 00 & 1 end{pmatrix} $$ 这种表示方法在分子对称性分析中具有实际应用价值。

来源参考：

Springer数学百科（https://link.springer.com）
剑桥大学群论讲义（https://www.maths.cam.ac.uk）
美国数学会专题报告（https://www.ams.org）
《对称性物理》教材（牛津大学出版社）

网络扩展解释

克莱茵群（Kleinian group）是数学中与复分析和几何拓扑相关的重要概念，其核心定义和特点如下：

1.基本定义

克莱茵群是由莫比乌斯变换（Möbius transformations）生成的离散群，作用于扩展复平面（黎曼球面）或三维双曲空间。这类群需要满足“离散性”条件，即群元素在变换空间中不存在无限趋近于恒等变换的序列。

2.历史背景

名称来源于德国数学家菲利克斯·克莱因（Felix Klein），但实际研究由亨利·庞加莱（Henri Poincaré）和罗伯特·弗里克（Robert Fricke）等学者推动，用于描述双曲几何和复动力系统的对称性。

3.关键性质

离散性：群作用在空间上不连续，没有聚点。
作用对象：通常研究其在复平面或三维双曲空间（如庞加莱球模型）中的轨道、极限集等。
分类与应用：与三维流形的双曲结构、泰希米勒空间理论密切相关，尤其在解决几何化猜想时起重要作用。

4.与克莱因四元群的区别

需注意与克莱因四元群（Klein four-group）区分，后者是群论中一个4阶交换群，每个非单位元的阶为2，结构简单，常用于抽象代数的教学示例。

5.现代研究方向

当前研究集中在群的代数性质（如生成元关系）、几何表现（如极限集的分形结构）以及计算机可视化（如通过迭代函数系统生成克莱因群图案）等领域。

注：搜索结果的翻译“Kleinian group”是正确的，但描述较简略。以上内容结合数学领域的通用定义补充了背景与应用。