良序的英文解释翻译、良序的的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 well-arranged

分词翻译：

良序的英语翻译：

【计】 well-order; well-ordering

专业解析

良序的（well-ordered）在数学（尤其是集合论）中是一个核心概念，指满足特定条件的偏序集。其定义与特性如下：

一、核心释义

1. 中文定义

   一个集合 ( S ) 配备一个二元关系 ( leq ) 构成良序集，当且仅当：

   • ( leq ) 是全序关系（任意两元素可比）；
   • ( S ) 的每个非空子集均有最小元（即存在 ( m in S ) 使得对所有 ( s in S ) 有 ( m leq s )）。

2. 英文对应词

   • Well-ordered：描述满足上述条件的集合结构。
   • Well-ordering：指良序关系本身或建立该关系的过程。

二、数学特性与示例

1. 关键性质

   • 最小元存在性：良序集的任意子集（包括自身）均有最小元素，这是区别于一般全序的核心特征。
   • 数学归纳法基础：良序性是超限归纳法的理论基础，例如自然数集 ( mathbb{N} ) 在标准序下是良序的（最小元为 0 或 1）。

2. 反例说明

   整数集 ( mathbb{Z} ) 或实数集 ( mathbb{R} ) 在标准序下非良序，因其子集（如负整数集）无最小元。

三、应用场景

• 选择公理等价形式：良序定理（Well-ordering Theorem）断言任何集合均可被良序化，与选择公理等价。
• 序数理论：良序集在同构意义下唯一对应一个序数，为 transfinite recursion 提供框架。

权威参考来源：

1. 《牛津英语词典》（Oxford English Dictionary）对 "well-ordered" 的数学定义。
2. 斯坦福哲学百科全书（Stanford Encyclopedia of Philosophy）条目 Well-Ordering Principle。
3. 《数学原理》（Principles of Mathematics，Bertrand Russell）中关于序关系的论述。

网络扩展解释

良序是数学中集合排序的一种严格形式，具有以下核心特点：

1.定义与基本性质

良序（Well-ordering）是满足两个条件的全序关系：

• 全序性：集合中任意两个元素均可比较（即满足自反性、反对称性、传递性）；
• 最小元素存在性：集合的每个非空子集都有唯一最小元素。

2.典型例子

• 自然数集 $mathbb{N}$：在标准“$leq$”关系下，每个非空子集（如${3,5,8}$）都有最小元素（如3），因此是良序的。
• 特定定义的整数集：通过调整排序规则，如按绝对值大小排列（如$0, -1, 1, -2, 2, dots$），可构造良序。

3.非良序的反例

• 正实数集 $mathbb{R}^+$：标准“$leq$”关系下，子集$(0,1)$无最小元素，因此不是良序。
• 有分支的偏序集：若哈斯图存在旁枝（如元素间不形成单一链状结构），则不是良序。

4.关键性质

• 唯一后继元：除最大元素外，每个元素均有唯一直接后继（即比它大的最小元素）；
• 前驱元不必然存在：除最小元素外，其他元素可能没有直接前驱。

5.与全序的区别

良序是全序的严格子集，额外要求子集的最小元素存在性。例如：

• 全序但非良序：整数在标准序下全序，但因无最小元素，非良序；
• 良序必全序：良序天然满足全序条件。

总结

良序通过严格的链状结构和最小元素存在性，为数学归纳法、序数理论等提供了基础。其典型应用可见于自然数的皮亚诺公理体系。

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