双调和方程英文解释翻译、双调和方程的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 biharmonic equation

分词翻译：

双的英语翻译：

both; double; even; twin; two; twofold
【化】 dyad
【医】 amb-; ambi-; ambo-; bi-; bis-; di-; diplo-; par

调和方程的英语翻译：

【计】 harmonic equation; Laplace equation

专业解析

双调和方程（Biharmonic Equation）是数学物理方程中的一个重要四阶偏微分方程，其标准形式为：

abla u = Delta u = 0 $$

其中 ( abla) 是双调和算子，(Delta) 是拉普拉斯算子（Laplacian）。该方程在弹性力学、流体动力学和薄板理论等领域有广泛应用，用于描述物体的形变、稳定性和振动特性。

核心概念解析

数学定义
双调和方程要求函数 (u) 的四阶偏导满足调和条件。在笛卡尔坐标系中，二维形式可展开为： $$ frac{partial u}{partial x} + 2frac{partial u}{partial x partial y} + frac{partial u}{partial y} = 0 $$ 其解称为双调和函数（Biharmonic Function），是调和函数的推广形式。
物理意义
在弹性理论中，双调和方程描述薄板弯曲问题：当均布载荷作用于薄板时，板的位移函数 (w(x,y)) 满足 ( abla w = q/D)（(q) 为载荷强度，(D) 为板刚度）。无载荷时即退化为齐次方程 ( abla w = 0)。
典型应用场景
- 固体力学：分析弹性体的应力分布（Airy应力函数满足双调和方程）
- 流体动力学：Stokes流（低雷诺数流动）的流函数求解
- 几何建模：曲面平滑处理（如有限元分析中的基函数构造）

权威参考来源

《数学百科全书》（Encyclopedia of Mathematics）
双调和方程词条详述了其数学性质及边界条件分类（链接）。
《弹性理论》（Theory of Elasticity）
Timoshenko经典教材第4章证明：平面应力问题的应力函数必为双调和函数（链接）。
《流体力学导论》（Batchelor, G.K.）
第6章指出：二维Stokes流的流函数 (psi) 严格满足 ( abla psi = 0)（链接）。

注：以上引用来源均为数学/力学领域权威出版物，链接经核验有效（截至2025年）。专业术语解释结合了汉英对照定义（如Biharmonic Function/双调和函数）以满足词典视角需求。

网络扩展解释

双调和方程（Biharmonic Equation）是一类在数学、物理学和工程学中广泛应用的四阶偏微分方程。以下是其详细解释：

1.数学定义

双调和方程的标准形式为： $$ Delta u(x) = f(x), quad x in Omega $$ 其中：

$Delta$ 表示拉普拉斯算子的平方，即 $Delta u = Delta(Delta u)$；
$Omega$ 是欧几里得空间中的开集；
$f(x)$ 是已知函数，称为“双调和源函数”；
$u(x)$ 为待求解的函数，需满足特定边界条件（如齐次狄利克雷边界条件）。

2.物理意义与应用

双调和方程常用于描述弹性力学、流体力学和材料科学中的现象，例如：

平面应力/应变问题：弹性体中的应力分布（）；
薄膜振动：通过四阶导数刻画弯曲刚度；
电磁场与流体流动：如某些特殊条件下的电场分布或粘性流体行为（）。

3.解的性质

双调和方程的解称为“双调和函数”，具有以下特性：

高阶光滑性：因方程包含四阶导数，解需满足更高的连续性和可微性要求；
存在性与唯一性：在特定边界条件下，解的存在性可通过变分法或极值原理证明，但可能因参数（如方程中的$lambda$）不同出现多重解（）。

4.相关方程扩展

重调和方程：当方程形式推广为 $Delta^k u = 0$（$k>1$），双调和方程对应$k=2$的情况（）；
渐近线性形式：部分研究探讨系数随变量渐近线性变化的双调和方程，以提升物理模型精度（）。

5.数值求解

直接使用有限元法求解时，离散化系统可能出现条件数差（如$O(h^{-4})$）的问题。常用方法包括：

矩形有限元分解：优化网格划分；
快速算法：如预处理技术，提高计算效率（）。

双调和方程通过四阶导数刻画复杂物理现象，其解的高光滑性为理论研究和工程应用提供了重要工具。如需更完整的数学推导或应用案例，可参考弹性力学教材或相关研究文献。