第一曲率向量英文解释翻译、第一曲率向量的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 first curvature vector

分词翻译：

第一的英语翻译：

first; firstly; primary
【医】 arch-; arche-; eka-; prot-; proto-
【经】 no 1

曲率的英语翻译：

curvature
【电】 curvature

向量的英语翻译：

vector
【计】 V; vector quantity
【医】 vector; vector quantity

专业解析

第一曲率向量（First Curvature Vector）是微分几何中描述曲线局部弯曲特性的核心概念。在三维欧氏空间中，其定义为曲线参数化后，切向量关于弧长参数的导数值，数学表达式为：

$$ mathbf{k}_1 = frac{dmathbf{T}}{ds} $$

其中$mathbf{T}$为单位切向量，$s$为弧长参数。该向量方向指向曲线在该点的法线方向（即弯曲方向），模长对应曲率值$kappa$，满足$|mathbf{k}_1| = kappa$。

在应用层面，第一曲率向量具有以下特性：

运动学意义：在质点运动学中，该向量等于速度向量的导数除以速率平方，对应向心加速度分量
几何表征：其方向由Frenet-Serret公式中的主法向量$mathbf{N}$确定，满足$mathbf{k}_1 = kappamathbf{N}$
工程应用：在道路设计、机械臂轨迹规划等领域，曲率向量用于描述路径弯曲程度对运动稳定性的影响

该概念的权威定义可见于Springer出版的《Differential Geometry of Curves and Surfaces》（作者T. Shifrin）第二章，以及Wolfram MathWorld的曲率词条说明。

网络扩展解释

“第一曲率向量”是微分几何中描述曲线局部弯曲性质的核心概念。对于三维空间中的正则参数化曲线 ( mathbf{r}(s) )（其中 ( s ) 为弧长参数），其定义和性质可概括如下：

1.数学定义

第一曲率向量是曲线在某点处的曲率 ( kappa ) 与主法线方向单位向量 ( mathbf{N} ) 的乘积，即： $$ kappa mathbf{N} = mathbf{r}''(s) $$ 其中：

( mathbf{r}''(s) ) 是曲线对弧长参数 ( s ) 的二阶导数，
( kappa = |mathbf{r}''(s)| ) 表示曲率标量值，
( mathbf{N} ) 是主法线方向向量，指向曲线弯曲的圆心方向。

2.几何意义

弯曲程度：向量长度 ( kappa ) 表示曲线偏离直线的速率。曲率越大，弯曲越剧烈（例如：圆半径越小，曲率越大）。
弯曲方向：向量方向 ( mathbf{N} ) 始终垂直于曲线切线方向 ( mathbf{T} )，指向曲线在该点的“瞬时圆心”（即密切圆的圆心）。

3.与挠率的关系

在三维曲线理论中，除了第一曲率向量，还存在描述曲线扭转程度的挠率 ( tau )。两者共同构成Frenet-Serret 公式： $$ begin{cases} mathbf{T}' = kappa mathbf{N} mathbf{N}' = -kappa mathbf{T} + tau mathbf{B} mathbf{B}' = -tau mathbf{N} end{cases} $$ 其中 ( mathbf{T} )、( mathbf{N} )、( mathbf{B} ) 分别为切线、主法线和副法线向量。

4.应用场景

机器人路径规划：通过曲率向量分析轨迹的平滑度和转向需求。
计算机图形学：生成逼真的曲线动画或曲面建模。
物理学：描述粒子在弯曲路径运动时的加速度法向分量。

补充说明

若曲线在二维平面上，第一曲率向量退化为标量曲率 ( kappa )，方向由法线唯一确定。在高维流形中，该概念可推广为描述曲线在切空间中的弯曲分量。