特征根英文解释翻译、特征根的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 characteristic root

分词翻译：

特征的英语翻译：

characteristic; earmark; feature; impress; individuality; mark; stamp
tincture; trait
【计】 F; featrue; tagging
【医】 character; feature; genius; stigma; stigmata; tlait
【经】 character

根的英语翻译：

base; cause; foot; origin; radix; root; source
【化】 radical
【医】 rad.; radical; radices; radix; rhizo-; root

专业解析

在数学与工程学领域，"特征根"（英文：characteristic root，亦称eigenvalue）指线性代数中与矩阵相关的特殊数值解。其定义为：对于n阶方阵A，若存在非零向量v和标量λ，使得方程$Av = λv$成立，则λ称为矩阵A的特征根。该概念源于求解线性变换下保持方向不变的向量的缩放因子。

特征根的数学表达式通过特征方程$det(A - λI) = 0$获得，其中I为单位矩阵，det表示矩阵的行列式。解此方程得到的根λ₁, λ₂,…, λₙ即为特征根。例如，在二阶矩阵中，若矩阵为： $$ begin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix} $$ 其特征方程为$λ² - (a+d)λ + (ad - bc) = 0。

应用层面，特征根在以下领域具有核心作用：

系统稳定性分析：控制理论中通过系统矩阵特征根的实部符号判断系统稳定性（如负实部对应稳定状态）
振动模态研究：机械工程中特征根对应结构的固有频率
数据降维：主成分分析（PCA）通过协方差矩阵特征根确定数据主要维度

根据剑桥大学数学词典，特征根的英文术语"characteristic root"与"eigenvalue"可互换使用，但后者在量子力学领域更常见。斯坦福大学线性代数公开课指出，特征根实部与虚部分别反映系统的衰减速率和振荡频率。

网络扩展解释

特征根（也称特征值）是线性代数中的核心概念，与矩阵和线性变换密切相关。其核心定义和意义如下：

一、定义

对于方阵 ( A )，若存在非零向量 ( mathbf{x} ) 和标量 ( lambda )，满足方程： $$ Amathbf{x} = lambdamathbf{x} $$ 则称 ( lambda ) 为矩阵 ( A ) 的特征根，对应的非零向量 ( mathbf{x} ) 称为特征向量。

二、数学求解

特征根通过特征方程计算： $$ det(A - lambda I) = 0 $$ 其中 ( I ) 是单位矩阵，方程的解即为特征根。例如，矩阵 ( A = begin{pmatrix} 2 & 11 & 2 end{pmatrix} ) 的特征方程为： $$ lambda - 4lambda + 3 = 0 $$ 解得特征根 ( lambda_1 = 3 )，( lambda_2 = 1 )。

三、几何意义

特征根反映了线性变换在特定方向（特征向量方向）上的缩放比例。例如：

若 ( lambda > 1 )，表示沿该方向被拉伸；
若 ( 0 < lambda < 1 )，表示被压缩；
若 ( lambda < 0 )，表示方向反转。

四、重要性质

迹与行列式：矩阵的迹（对角线元素和）等于特征根之和，行列式等于特征根之积。
对角化：若矩阵有 ( n ) 个线性无关特征向量，则可对角化为 ( PDP^{-1} )（( D ) 为特征根构成的对角阵）。
稳定性分析：在微分方程中，特征根的实部符号决定系统稳定性。

五、应用领域

主成分分析（PCA）：通过协方差矩阵的特征根降维数据。
量子力学：算子的特征根对应物理量的观测值。
振动分析：机械系统的固有频率与特征根相关。

若需具体计算示例或更深入的数学推导，可进一步说明。