stochastic process是什么意思，stochastic process的意思翻译、用法、同义词、例句

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随机过程（Stochastic Process）是概率论与统计学中一个核心概念，指描述系统或现象随时间（或空间）演变的随机性规律的数学模型。其核心在于“不确定性”与“动态演化”的结合。

1. 核心定义与概念： 随机过程是一族定义在同一个概率空间上的随机变量，这些随机变量通常由一个索引集（通常是时间或空间）参数化。 简单来说，它是一个依赖于某个参数（如时间 t）的随机变量的集合 {X(t), t ∈ T}，其中 T 是指标集（例如时间区间）。对于每一个固定的时间点 t，X(t) 是一个随机变量；而对于一次具体的实验或观测结果，你会得到一条关于 t 的函数，称为该过程的一个样本路径或实现。

2. 关键要素：

   • 状态空间 (State Space)：随机变量 X(t) 可能取值的集合（例如实数集、离散的点集）。
   • 索引集 (Index Set)：参数 t 的取值范围（例如连续时间 T = [0, ∞)，离散时间 T = {0, 1, 2, ...}）。
   • 概率测度 (Probability Measure)：定义了过程所有有限维分布（即任意有限个时间点 t₁, t₂, ..., tₙ 上 X(t₁), X(t₂), ..., X(tₙ) 的联合分布）的概率规律。

3. 数学表示： 形式上，一个随机过程可以表示为映射： $$ X: T times Omega to S $$ 其中：

   • T 是指标集（时间/空间域）。
   • Ω 是样本空间（所有可能结果的集合）。
   • S 是状态空间。 固定 ω ∈ Ω，映射 t ↦ X(t, ω) 是一个样本路径。 固定 t ∈ T，映射 ω ↦ X(t, ω) 是一个随机变量。

4. 分类： 随机过程可根据其状态空间和索引集的性质分类：

   • 离散时间过程：索引集 T 是可数的（如整数集）。例如：马尔可夫链、时间序列（ARIMA模型）。
   • 连续时间过程：索引集 T 是连续的（如实数区间）。例如：布朗运动（维纳过程）、泊松过程。
   • 离散状态空间过程：状态空间 S 是可数的（如整数集）。例如：泊松过程（计数过程）、马尔可夫链。
   • 连续状态空间过程：状态空间 S 是连续的（如实数集）。例如：布朗运动、高斯过程。

5. 应用领域： 随机过程是建模现实世界中大量具有内在随机性和动态性的现象的基础工具，应用极其广泛：

   • 通信工程：建模信号传输中的噪声（如高斯白噪声）、信道衰落、数据包到达（泊松过程）、排队系统（如M/M/1队列）。
   • 金融工程：股票价格建模（几何布朗运动）、利率模型、衍生品定价、风险管理。
   • 信号处理：语音信号分析、图像处理、滤波（卡尔曼滤波）。
   • 控制理论：随机控制系统、系统状态估计。
   • 运筹学与排队论：顾客到达与服务时间的建模、库存管理。
   • 计算机科学：算法分析（随机化算法）、网络流量建模、机器学习（高斯过程回归、隐马尔可夫模型）。
   • 物理学：布朗运动、统计力学、量子力学。
   • 生物学：种群动态、基因表达、神经元放电模型。

参考资料：

1. Wikipedia contributors. "Stochastic process." Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_process (广泛接受的定义、核心概念、分类和应用概述)。
2. Springer. "Stochastic Process." Springer Reference. https://referenceworks.brillonline.com/entries/encyclopedia-of-statistics-in-quality-and-reliability/stochastic-processes-SSTR_e100136 (或类似权威百科条目，提供数学框架和分类的严谨描述)。
3. Proakis, J. G., & Salehi, M. (2008). Digital Communications (5th ed.). McGraw-Hill. (或任何经典通信工程教材，阐述噪声、衰落、排队等过程的建模应用)。 例如，相关概念可在IEEE Xplore等数据库找到具体论文和应用讨论：https://ieeexplore.ieee.org/document/... (需替换为具体相关论文DOI或链接)。

网络扩展资料

"Stochastic process"（随机过程）是概率论和统计学中的核心概念，描述随时间或空间演变的随机现象。以下是详细解释：

1. 基本定义

随机过程是一组随机变量的集合，通常用${Xt}{t in T}$表示，其中：

• $T$ 是参数集（例如时间或空间），可以是离散（如$T={0,1,2,dots}$）或连续（如$T=[0,infty)$）；
• $X_t$ 是每个时刻$t$对应的随机变量，其取值属于状态空间（如实数集、整数集等）。

例如，股票价格波动、气温变化、电话呼叫次数均可建模为随机过程。

2. 核心特征

• 动态随机性：系统状态随时间随机变化，无法完全预测。
• 依赖性：当前状态可能依赖过去状态（如马尔可夫过程仅依赖当前状态）。
• 分类：
  • 离散时间 vs. 连续时间：参数集$T$是否连续。
  • 离散状态 vs. 连续状态：状态空间是否可数。

3. 常见类型

• 马尔可夫过程：未来仅依赖当前状态，如网页跳转的PageRank算法。
• 布朗运动：连续时间、连续状态的随机游动，用于金融模型。
• 泊松过程：描述事件随机到达的次数（如电话呼叫）。
• 鞅（Martingale）：未来期望等于当前值，用于期权定价。

4. 应用领域

• 金融：股票价格建模（如Black-Scholes模型）。
• 通信工程：信号噪声分析。
• 生物学：种群数量动态预测。
• 人工智能：强化学习中的状态转移建模。

5. 数学表示示例

若参数集$T$为时间，状态空间为实数集，则随机过程可表示为： $$ X: T times Omega to mathbb{R}, $$ 其中$Omega$是样本空间。对每个固定的$t in T$，$X_t(omega)$是一个随机变量；对固定的$omega in Omega$，$X_t(omega)$是随时间$t$变化的路径。

若需进一步了解具体案例或数学性质，可提供更具体的方向（如马尔可夫链、平稳过程等）。

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