stochastic process是什麼意思，stochastic process的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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隨機過程（Stochastic Process）是概率論與統計學中一個核心概念，指描述系統或現象隨時間（或空間）演變的隨機性規律的數學模型。其核心在于“不确定性”與“動态演化”的結合。

1. 核心定義與概念： 隨機過程是一族定義在同一個概率空間上的隨機變量，這些隨機變量通常由一個索引集（通常是時間或空間）參數化。 簡單來說，它是一個依賴于某個參數（如時間 t）的隨機變量的集合 {X(t), t ∈ T}，其中 T 是指标集（例如時間區間）。對于每一個固定的時間點 t，X(t) 是一個隨機變量；而對于一次具體的實驗或觀測結果，你會得到一條關于 t 的函數，稱為該過程的一個樣本路徑或實現。

2. 關鍵要素：

   • 狀态空間 (State Space)：隨機變量 X(t) 可能取值的集合（例如實數集、離散的點集）。
   • 索引集 (Index Set)：參數 t 的取值範圍（例如連續時間 T = [0, ∞)，離散時間 T = {0, 1, 2, ...}）。
   • 概率測度 (Probability Measure)：定義了過程所有有限維分布（即任意有限個時間點 t₁, t₂, ..., tₙ 上 X(t₁), X(t₂), ..., X(tₙ) 的聯合分布）的概率規律。

3. 數學表示： 形式上，一個隨機過程可以表示為映射： $$ X: T times Omega to S $$ 其中：

   • T 是指标集（時間/空間域）。
   • Ω 是樣本空間（所有可能結果的集合）。
   • S 是狀态空間。 固定 ω ∈ Ω，映射 t ↦ X(t, ω) 是一個樣本路徑。 固定 t ∈ T，映射 ω ↦ X(t, ω) 是一個隨機變量。

4. 分類： 隨機過程可根據其狀态空間和索引集的性質分類：

   • 離散時間過程：索引集 T 是可數的（如整數集）。例如：馬爾可夫鍊、時間序列（ARIMA模型）。
   • 連續時間過程：索引集 T 是連續的（如實數區間）。例如：布朗運動（維納過程）、泊松過程。
   • 離散狀态空間過程：狀态空間 S 是可數的（如整數集）。例如：泊松過程（計數過程）、馬爾可夫鍊。
   • 連續狀态空間過程：狀态空間 S 是連續的（如實數集）。例如：布朗運動、高斯過程。

5. 應用領域： 隨機過程是建模現實世界中大量具有内在隨機性和動态性的現象的基礎工具，應用極其廣泛：

   • 通信工程：建模信號傳輸中的噪聲（如高斯白噪聲）、信道衰落、數據包到達（泊松過程）、排隊系統（如M/M/1隊列）。
   • 金融工程：股票價格建模（幾何布朗運動）、利率模型、衍生品定價、風險管理。
   • 信號處理：語音信號分析、圖像處理、濾波（卡爾曼濾波）。
   • 控制理論：隨機控制系統、系統狀态估計。
   • 運籌學與排隊論：顧客到達與服務時間的建模、庫存管理。
   • 計算機科學：算法分析（隨機化算法）、網絡流量建模、機器學習（高斯過程回歸、隱馬爾可夫模型）。
   • 物理學：布朗運動、統計力學、量子力學。
   • 生物學：種群動态、基因表達、神經元放電模型。

參考資料：

1. Wikipedia contributors. "Stochastic process." Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_process (廣泛接受的定義、核心概念、分類和應用概述)。
2. Springer. "Stochastic Process." Springer Reference. https://referenceworks.brillonline.com/entries/encyclopedia-of-statistics-in-quality-and-reliability/stochastic-processes-SSTR_e100136 (或類似權威百科條目，提供數學框架和分類的嚴謹描述)。
3. Proakis, J. G., & Salehi, M. (2008). Digital Communications (5th ed.). McGraw-Hill. (或任何經典通信工程教材，闡述噪聲、衰落、排隊等過程的建模應用)。 例如，相關概念可在IEEE Xplore等數據庫找到具體論文和應用讨論：https://ieeexplore.ieee.org/document/... (需替換為具體相關論文DOI或鍊接)。

網絡擴展資料

"Stochastic process"（隨機過程）是概率論和統計學中的核心概念，描述隨時間或空間演變的隨機現象。以下是詳細解釋：

1. 基本定義

隨機過程是一組隨機變量的集合，通常用${Xt}{t in T}$表示，其中：

• $T$ 是參數集（例如時間或空間），可以是離散（如$T={0,1,2,dots}$）或連續（如$T=[0,infty)$）；
• $X_t$ 是每個時刻$t$對應的隨機變量，其取值屬于狀态空間（如實數集、整數集等）。

例如，股票價格波動、氣溫變化、電話呼叫次數均可建模為隨機過程。

2. 核心特征

• 動态隨機性：系統狀态隨時間隨機變化，無法完全預測。
• 依賴性：當前狀态可能依賴過去狀态（如馬爾可夫過程僅依賴當前狀态）。
• 分類：
  • 離散時間 vs. 連續時間：參數集$T$是否連續。
  • 離散狀态 vs. 連續狀态：狀态空間是否可數。

3. 常見類型

• 馬爾可夫過程：未來僅依賴當前狀态，如網頁跳轉的PageRank算法。
• 布朗運動：連續時間、連續狀态的隨機遊動，用于金融模型。
• 泊松過程：描述事件隨機到達的次數（如電話呼叫）。
• 鞅（Martingale）：未來期望等于當前值，用于期權定價。

4. 應用領域

• 金融：股票價格建模（如Black-Scholes模型）。
• 通信工程：信號噪聲分析。
• 生物學：種群數量動态預測。
• 人工智能：強化學習中的狀态轉移建模。

5. 數學表示示例

若參數集$T$為時間，狀态空間為實數集，則隨機過程可表示為： $$ X: T times Omega to mathbb{R}, $$ 其中$Omega$是樣本空間。對每個固定的$t in T$，$X_t(omega)$是一個隨機變量；對固定的$omega in Omega$，$X_t(omega)$是隨時間$t$變化的路徑。

若需進一步了解具體案例或數學性質，可提供更具體的方向（如馬爾可夫鍊、平穩過程等）。

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