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perturbation method是什么意思，perturbation method的意思翻译、用法、同义词、例句

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常用词典

  • 微扰法，微扰理论

    • 例句

  • The regular perturbation method is described.

    简要介绍了正则摄动法。

  • This confirms the accuracy of the perturbation method which we adopted.

    这就证明了我们采用的摄动法有较好的准确性。

  • The approximate analytical solution is got by using perturbation method.

    通过扰动方法求得问题的近似解析解。

  • The matrix perturbation method is effective to solve this kind of problem.

    矩阵摄动法是解决这种问题的有力工具。

  • Superconvergent perturbation method in quantum system is briefly introduced.

    简单介绍了量子系统中的超收敛微扰法。

    • 同义词

  • |perturbation theory;[物]微扰法，微扰理论

    • 专业解析

    扰动法（Perturbation Method）是一种数学分析技术，主要用于求解那些难以直接获得精确解的复杂问题（尤其是微分方程或方程组）。其核心思想是将一个复杂的“扰动”问题分解为一个相对简单的、可精确求解的“未扰动”问题，加上一个或多个微小的“扰动项”。通过系统地分析这些微小扰动对未扰动解的影响，来获得原始问题的近似解。

    1. 核心概念与数学形式：

      • 未扰动系统：存在一个已知精确解的比较简单的问题。通常用下标或上标“0”表示其解，例如 $u_0$ 或 $y^{(0)}$。
      • 小参数：引入一个无量纲的小参数 $epsilon$（$epsilon ll 1$），它表征了扰动的大小或强度。实际问题中，$epsilon$ 可能代表很小的物理量（如弱非线性、小质量比、小雷诺数等）。
      • 扰动展开：假设待求解（如 $y(x)$）可以表示为关于小参数 $epsilon$ 的幂级数（渐近展开）： $$ y(x) = y_0(x) + epsilon y_1(x) + epsilon y_2(x) + epsilon y_3(x) + cdots $$ 其中 $y_0(x)$ 是未扰动问题的解，$y_1(x), y_2(x), y_3(x), ldots$ 是待求的逐阶修正项。
      • 代入与逐阶求解：将上述展开式代入原始方程，并将方程按 $epsilon$ 的不同幂次分组。由于 $epsilon$ 很小，不同幂次的项在方程中应该是独立的。这产生了一系列递推的、通常更简单的方程：
        • $epsilon^0$ 阶方程：得到 $y_0(x)$（即未扰动解）。
        • $epsilon$ 阶方程：得到关于 $y_1(x)$ 的方程（线性方程，依赖于 $y_0$）。
        • $epsilon$ 阶方程：得到关于 $y_2(x)$ 的方程（可能线性或非线性，依赖于 $y_0$ 和 $y_1$）。
        • 依此类推。求解这些逐阶方程，就得到了解的逐阶近似。

    2. 主要类型与应用：

      • 正则扰动（Regular Perturbation）：当小参数 $epsilon$ 在整个定义域内都保持很小，且扰动解在 $epsilon to 0$ 时一致收敛到未扰动解时适用。例如，求解弱非线性振动系统 $ddot{x} + x + epsilon x = 0$，其中 $epsilon$ 是非线性项的系数。
      • 奇异扰动（Singular Perturbation）：当小参数 $epsilon$ 乘以方程中的最高阶导数项时，或者当 $epsilon to 0$ 时解的性质发生突变（如边界层现象、多重尺度行为），正则扰动法失效。需要特殊技巧如匹配渐近展开法（Matched Asymptotic Expansions） 或多重尺度法（Method of Multiple Scales）。典型例子包括高雷诺数下的流体边界层问题（$epsilon = 1/Re$）或具有小质量比的轨道力学问题。
      • 应用领域：扰动法广泛应用于物理学（量子力学、流体力学、声学、光学）、工程学（航空航天、机械振动、控制理论）、化学和生物学等领域，用于分析包含弱非线性、弱耦合、小几何偏差、小外场等情形的系统。

    参考资料：

    1. Springer Reference: Perturbation Methods (数学百科全书条目，权威概述): https://link.springer.com/referenceworkentry/10.1007/978-3-642-27737-5_409-2
    2. NASA Technical Report Server: Introduction to Singular Perturbation Methods (工程应用实例): https://ntrs.nasa.gov/citations/19900012416
    3. University of Cambridge Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics (DAMTP) Lecture Notes: Asymptotic Methods (包含正则与奇异扰动法教学): https://www.damtp.cam.ac.uk/user/na/PartIII/ (需查找相关年份/课程的具体讲义，如 "Asymptotic Methods" 或 "Perturbation Methods")

    网络扩展资料

    Perturbation method（摄动方法，又称微扰法）是一种数学工具，用于求解无法精确解析的问题的近似解。其核心思想是将复杂问题分解为一个已知精确解的主问题和一个微小扰动项，通过逐级展开逼近真实解。

    基本原理

    1. 问题分解
      将原问题写成：
      $$L(u) + epsilon cdot R(u) = 0$$
      其中：

      • (L(u)) 是主问题（可精确求解的部分）；
      • (epsilon cdot R(u)) 是微小扰动项（(epsilon ll 1)）；
      • (u) 是待求的解。

    2. 级数展开
      假设解可展开为扰动参数(epsilon)的幂级数：
      $$u approx u_0 + epsilon u_1 + epsilon u_2 + cdots$$
      将其代入原方程后，按(epsilon)的阶数分离方程，逐级求解(u_0, u_1, u_2)等。

    3. 应用类型

      • 正则摄动：扰动项在整个域内有效（如经典力学中的小幅振动）；
      • 奇异摄动：扰动项在局部区域（如边界层）产生显著影响，需用渐近展开匹配。

    典型应用领域

    1. 物理学

      • 量子力学中的微扰理论：计算复杂势场下的能级修正（如氢原子的Stark效应）；
      • 天体力学：分析行星轨道的微小摄动。

    2. 工程学

      • 流体力学：边界层理论中的Navier-Stokes方程简化；
      • 结构力学：非线性振动系统的近似解。

    3. 应用数学

      • 微分方程的渐近分析（如求解含小参数的常/偏微分方程）。

    优缺点

    示例

    考虑方程：
    $$frac{du}{dt} + epsilon u = 0 quad (u(0)=1)$$
    假设解为(u(t) = u_0(t) + epsilon u_1(t) + cdots)，代入后可得：

    这种方法通过系统化展开，将复杂问题转化为一系列简单问题，是科学与工程中广泛使用的经典近似工具。

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