动态规划；动态程序设计
This is exactly how dynamic programming works.
这就是动态编程的工作原理。
How to improve this Dynamic Programming solution?
如何完善这一动态规划的解决方案？
Optimum analysis is made by dynamic programming method.
用动态规划法进行了优化分析。
Blue is a dynamic programming language with unique features.
Blue是一种具有独特功能的动态编程语言。
It also includes use of the dynamic programming techniques.
这也包括了动态规划技巧的使用。
动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种用于解决复杂优化问题的算法设计方法，其核心思想是将问题分解为相互重叠的子问题，通过存储子问题的解（即“记忆化”）避免重复计算，从而提高效率。
最优子结构
问题的最优解包含其子问题的最优解。例如，最短路径问题中，若从A到C的最短路径经过B，则A到B和B到C的路径也必须是各自的最短路径。
重叠子问题
在递归求解过程中，相同的子问题会被多次计算。动态规划通过存储中间结果（如用数组或哈希表）减少计算量。例如，斐波那契数列的递归解法会重复计算fib(3)，而动态规划只需计算一次。
定义状态
用变量（如dp[i]）表示子问题的解。例如，dp[i]可表示第i个斐波那契数。
状态转移方程
描述子问题之间的关系。例如：
$$text{斐波那契数列：} dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$$
$$text{背包问题：} dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-w_i] + v_i)$$
初始化与边界条件
如斐波那契数列中dp[0]=0, dp[1]=1。
计算顺序
通常采用自底向上（迭代）或自顶向下（递归+记忆化）的方式。
| 动态规划 | 分治法 |
|---|---|
| 子问题重叠，需存储中间结果 | 子问题独立，无重复计算 |
| 适用于优化问题（如最大值） | 适用于分解问题（如排序） |
动态规划由Richard Bellman于1950年代提出，名称中的“Programming”指“表格法”而非编程。通过合理设计状态和转移方程，可将许多指数级复杂度的问题优化为多项式时间。
动态规划 (dynamic programming) 是一种解决多阶段决策过程最优化的数学方法。它将原问题分解为若干个子问题，每个子问题只求解一次，然后将其解存储起来，避免重复计算，从而节省计算时间。动态规划常用于需要求解最优解的情况，比如背包问题和最短路径问题。
We used dynamic programming to solve the problem of finding the shortest path between two points. (我们使用动态规划来解决在两点之间寻找最短路径的问题。)
Dynamic programming is a useful technique for solving optimization problems. (动态规划是解决优化问题的一种有用技术。)
动态规划是一种算法思想，常用于解决需要求解最优解的问题。它可以将一个问题分解为若干个子问题，通过求解子问题得到原问题的解。解决子问题的过程只需要进行一次，然后将其解存储起来，避免了重复计算，从而节省了计算时间。
动态规划是一种数学方法，用于求解多阶段决策过程的最优化问题。它是一种自底向上的求解方法，通过将原问题分解为若干个子问题，每个子问题只求解一次，然后将其解存储起来，避免重复计算，从而得到最优解。动态规划常用于需要求解最优解的情况，比如背包问题和最短路径问题。
分治算法 (divide and conquer) ：与动态规划类似，都是将问题分解为若干个子问题进行求解，但分治算法一般不会存储子问题的解。
贪心算法 (greedy algorithm) ：也是一种求解最优解的算法，但它每次只考虑当前状态下的最优解，不考虑后续状态的影响。
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