determinantal是什么意思，determinantal的意思翻译、用法、同义词、例句

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例句

专业解析

"determinantal" 是一个数学术语，特别是在线性代数和代数几何领域，它是名词 "determinant"（行列式）的形容词形式。其核心含义是与行列式相关的 或具有行列式性质的。

具体来说，"determinantal" 用于描述那些由其行列式定义或表征的对象、性质或条件。以下是其主要含义和应用场景：

1. 描述矩阵的子集或性质：

   • 当一个矩阵的子矩阵（例如所有 k×k 子矩阵）的行列式满足特定条件时，可以说这个矩阵具有某种 "determinantal" 性质。
   • 例如，一个矩阵是秩亏的（rank-deficient），当且仅当它的所有最大子方阵的行列式为零。可以说秩亏性是由这些行列式为零所决定的，因此秩亏矩阵的集合有时被称为一个 "determinantal variety"（行列式簇）。

2. 定义代数簇（Algebraic Variety）：

   • 在代数几何中，"determinantal variety"（行列式簇）是一个核心概念。它指的是由满足特定行列式条件的矩阵构成的集合所定义的代数簇。
   • 最常见的例子是：
     • 秩 ≤ r 的 m×n 矩阵的集合： 这个集合可以定义为所有 (r+1)×(r+1) 子矩阵的行列式均为零的矩阵的集合。因此，这个集合被称为一个determinantal variety。它是一个射影簇或仿射簇，具体取决于考虑的环境（射影空间或仿射空间）。
     • 更一般地， 任何由规定某些子矩阵的行列式为零（或满足其他多项式方程）所定义的矩阵空间中的子簇，都可以称为 determinantal variety。

3. 描述理想（Ideal）：

   • 定义行列式簇的多项式方程（即要求某些子矩阵的行列式为零）所生成的理想，称为 "determinantal ideal"（行列式理想）。

"Determinantal" 意味着某个数学对象（如矩阵集合、簇、理想）或其性质本质上是基于行列式来定义或刻画的。它最突出的应用是在定义和研究矩阵空间中由秩条件（体现为子矩阵行列式为零）所定义的代数簇（determinantal varieties）。

参考来源：

1. David Mumford 的经典著作《代数几何 I：复射影簇》(Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties) 在讨论射影簇的构造和例子时，会涉及行列式簇作为重要实例。虽然书中可能不会专门定义 "determinantal" 这个形容词，但对 "determinantal variety" 有深入讨论。
2. Joe Harris 的《代数几何：入门课程》(Algebraic Geometry: A First Course) 通常在介绍 Grassmannians 和 Schubert calculus 之前或之中，会引入秩固定的矩阵空间作为行列式簇的例子。
3. Phillip Griffiths 和 Joseph Harris 的《代数几何原理》(Principles of Algebraic Geometry) 在讨论向量丛、上同调和复几何中的具体簇时，也常以行列式簇为例。
4. 标准线性代数或交换代数教材 在讨论矩阵秩、子式、以及由子式生成的理想时，会隐含地涉及 "determinantal" 的概念。例如，矩阵秩小于等于 r 的条件就是由所有 (r+1)×(r+1) 子式（行列式）为零来定义的。

网络扩展资料

determinantal 是数学领域中的专业术语，其含义和用法如下：

词性与发音

• 词性：形容词
• 发音：英音 [dɪ'tɜ:mɪ'næntəl]，美音 [dɪ'tɜ:mɪ'næntəl]

核心词义

表示“行列式的”或“以行列式表示的”，用于描述与行列式（determinant）相关的数学概念或表达式。行列式是线性代数中用于描述矩阵性质的重要标量值，而 determinantal 则用于修饰与行列式相关的形式、定理或公式。

词源与构成

• 词根来自名词determinant（行列式），由前缀 de-（表加强）、termin（界限）和形容词后缀 -al 构成。
• 数学中常用 determinantal formula（行列式公式）或 determinantal expression（行列式表达式）等短语。

用法与示例

1. 修饰数学对象：
   • 例如：“Thedeterminantal form of this equation reveals the matrix's invertibility.”（该方程的行列式形式揭示了矩阵的可逆性。）
2. 学术文献中的典型用例：
   • 在矩阵理论中，determinantal 常与 process（过程）、representation（表示）等词搭配，用于描述涉及行列式的数学过程。

对比：determinant vs. determinantal

• determinant 是名词，指具体的行列式数值或决定因素（如生物学中的“决定因子”）。
• determinantal 是形容词，仅用于数学语境，强调与行列式相关的属性或形式。

应用领域

主要出现在线性代数、概率论（如 determinantal point processes）和统计学中，用于分析矩阵性质或随机模型的结构。

如果需要更具体的数学公式或应用场景，可以进一步补充示例。

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