determinantal是什麼意思，determinantal的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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"determinantal" 是一個數學術語，特别是線上性代數和代數幾何領域，它是名詞 "determinant"（行列式）的形容詞形式。其核心含義是與行列式相關的 或具有行列式性質的。

具體來說，"determinantal" 用于描述那些由其行列式定義或表征的對象、性質或條件。以下是其主要含義和應用場景：

1. 描述矩陣的子集或性質：

   • 當一個矩陣的子矩陣（例如所有 k×k 子矩陣）的行列式滿足特定條件時，可以說這個矩陣具有某種 "determinantal" 性質。
   • 例如，一個矩陣是秩虧的（rank-deficient），當且僅當它的所有最大子方陣的行列式為零。可以說秩虧性是由這些行列式為零所決定的，因此秩虧矩陣的集合有時被稱為一個 "determinantal variety"（行列式簇）。

2. 定義代數簇（Algebraic Variety）：

   • 在代數幾何中，"determinantal variety"（行列式簇）是一個核心概念。它指的是由滿足特定行列式條件的矩陣構成的集合所定義的代數簇。
   • 最常見的例子是：
     • 秩 ≤ r 的 m×n 矩陣的集合： 這個集合可以定義為所有 (r+1)×(r+1) 子矩陣的行列式均為零的矩陣的集合。因此，這個集合被稱為一個determinantal variety。它是一個射影簇或仿射簇，具體取決于考慮的環境（射影空間或仿射空間）。
     • 更一般地， 任何由規定某些子矩陣的行列式為零（或滿足其他多項式方程）所定義的矩陣空間中的子簇，都可以稱為 determinantal variety。

3. 描述理想（Ideal）：

   • 定義行列式簇的多項式方程（即要求某些子矩陣的行列式為零）所生成的理想，稱為 "determinantal ideal"（行列式理想）。

"Determinantal" 意味着某個數學對象（如矩陣集合、簇、理想）或其性質本質上是基于行列式來定義或刻畫的。它最突出的應用是在定義和研究矩陣空間中由秩條件（體現為子矩陣行列式為零）所定義的代數簇（determinantal varieties）。

參考來源：

1. David Mumford 的經典著作《代數幾何 I：複射影簇》(Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties) 在讨論射影簇的構造和例子時，會涉及行列式簇作為重要實例。雖然書中可能不會專門定義 "determinantal" 這個形容詞，但對 "determinantal variety" 有深入讨論。
2. Joe Harris 的《代數幾何：入門課程》(Algebraic Geometry: A First Course) 通常在介紹 Grassmannians 和 Schubert calculus 之前或之中，會引入秩固定的矩陣空間作為行列式簇的例子。
3. Phillip Griffiths 和 Joseph Harris 的《代數幾何原理》(Principles of Algebraic Geometry) 在讨論向量叢、上同調和複幾何中的具體簇時，也常以行列式簇為例。
4. 标準線性代數或交換代數教材 在讨論矩陣秩、子式、以及由子式生成的理想時，會隱含地涉及 "determinantal" 的概念。例如，矩陣秩小于等于 r 的條件就是由所有 (r+1)×(r+1) 子式（行列式）為零來定義的。

網絡擴展資料

determinantal 是數學領域中的專業術語，其含義和用法如下：

詞性與發音

• 詞性：形容詞
• 發音：英音 [dɪ'tɜ:mɪ'næntəl]，美音 [dɪ'tɜ:mɪ'næntəl]

核心詞義

表示“行列式的”或“以行列式表示的”，用于描述與行列式（determinant）相關的數學概念或表達式。行列式是線性代數中用于描述矩陣性質的重要标量值，而 determinantal 則用于修飾與行列式相關的形式、定理或公式。

詞源與構成

• 詞根來自名詞determinant（行列式），由前綴 de-（表加強）、termin（界限）和形容詞後綴 -al 構成。
• 數學中常用 determinantal formula（行列式公式）或 determinantal expression（行列式表達式）等短語。

用法與示例

1. 修飾數學對象：
   • 例如：“Thedeterminantal form of this equation reveals the matrix's invertibility.”（該方程的行列式形式揭示了矩陣的可逆性。）
2. 學術文獻中的典型用例：
   • 在矩陣理論中，determinantal 常與 process（過程）、representation（表示）等詞搭配，用于描述涉及行列式的數學過程。

對比：determinant vs. determinantal

• determinant 是名詞，指具體的行列式數值或決定因素（如生物學中的“決定因子”）。
• determinantal 是形容詞，僅用于數學語境，強調與行列式相關的屬性或形式。

應用領域

主要出現線上性代數、概率論（如 determinantal point processes）和統計學中，用于分析矩陣性質或隨機模型的結構。

如果需要更具體的數學公式或應用場景，可以進一步補充示例。

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