automorphism是什么意思，automorphism的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

例句

专业解析

在数学中，自同构（Automorphism） 指一个数学结构到其自身的一种特殊同构映射。它保留了该结构的全部运算和关系，可以理解为该结构的一种“对称性”或“自我对称变换”。

核心特征：

1. 同构性： 首先，它必须是该结构的一个同构（Isomorphism）。这意味着：
   • 它是一个双射（Bijective） 映射（一一对应）。
   • 它保持（Preserve） 该结构定义的所有运算和关系。
2. 自映射性： 其次，这个同构映射的定义域和值域必须是同一个结构本身。即，它是从结构 $S$ 到 $S$ 自身的映射。

通俗理解： 想象一个几何图形（如正方形）。将这个图形旋转90度、180度、270度或沿某些轴对称翻转后，它看起来和原来完全一样。这些旋转和翻转操作就是正方形这个几何结构的自同构。它们改变了图形内部点的位置（是双射），但没有改变图形的本质形状和对称性（保持了结构）。

在不同数学结构中的具体表现：

1. 群自同构（Group Automorphism）：

   • 设 $G$$ 是一个群。
   • 一个自同构 $sigma: G to G$ 是一个双射群同态（因此也是同构）。
   • 它必须满足：对于所有 $a, b in G$，有 $sigma(a cdot b) = sigma(a) cdot sigma(b)$ （保持群运算）。
   • 例子：
     • 在整数加法群 $(mathbb{Z}, +)$ 上，映射 $n to -n$ 是一个自同构（取反）。
     • 在非零实数乘法群 $(mathbb{R}setminus{0}, times)$ 上，映射 $x to x^{-1}$ （取倒数）是一个自同构。
     • 在复数加法群 $(mathbb{C}, +)$ 上，复共轭 $z to overline{z}$ 是一个自同构。

2. 环自同构（Ring Automorphism）：

   • 设 $R$ 是一个环。
   • 一个自同构 $sigma: R to R$ 是一个双射环同态（因此也是同构）。
   • 它必须同时保持加法和乘法运算：对于所有 $a, b in R$，有 $sigma(a + b) = sigma(a) + sigma(b)$ 和 $sigma(a cdot b) = sigma(a) cdot sigma(b)$。
   • 例子：
     • 在复数环 $(mathbb{C}, +, times)$ 上，复共轭 $z to overline{z}$ 是一个自同构（保持加法和乘法）。
     • 在实数环 $(mathbb{R}, +, times)$ 上，恒等映射 $x to x$ 是唯一的自同构（忽略选择公理相关讨论）。

3. 域自同构（Field Automorphism）：

   • 域是一种特殊的环，所以域自同构的定义与环自同构相同，要求同时保持加法和乘法。
   • 例子：
     • 在复数域 $mathbb{C}$ 上，复共轭 $z to overline{z}$ 是一个自同构。
     • 在实数域 $mathbb{R}$ 上，恒等映射是唯一的自同构。
     • 在有理数域 $mathbb{Q}$ 上，恒等映射是唯一的自同构。

4. 向量空间自同构（Vector Space Automorphism / Linear Automorphism）：

   • 设 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间。
   • 一个自同构 $T: V to V$ 是一个双射线性变换（因此也是线性同构）。
   • 它必须满足：对于所有向量 $mathbf{u}, mathbf{v} in V$ 和标量 $c in F$，有 $T(mathbf{u} + mathbf{v}) = T(mathbf{u}) + T(mathbf{v})$ 和 $T(cmathbf{u}) = cT(mathbf{u})$。
   • 例子：
     • 在 $mathbb{R}^n$ 上，任何可逆的 $n times n$ 实矩阵 $A$ 定义的线性变换 $mathbf{x} to Amathbf{x}$ 都是一个自同构。

5. 图自同构（Graph Automorphism）：

   • 设 $G = (V, E)$ 是一个图（$V$ 是顶点集，$E$ 是边集）。
   • 一个自同构 $pi$ 是顶点集 $V$ 的一个置换（Permutation）。
   • 它必须保持邻接关系：两个顶点 $u$ 和 $v$ 相邻当且仅当它们的像 $pi(u)$ 和 $pi(v)$ 也相邻。
   • 这相当于对图的顶点进行重新标记，使得新图与原图完全相同。
   • 例子：
     • 对于一个正方形（4个顶点，4条边构成的环图 $C_4$），旋转90度、180度、270度以及沿不同对称轴的翻转所对应的顶点置换都是图的自同构。

重要性： 自同构群（Automorphism Group）是研究数学结构对称性的核心工具。一个结构的自同构在复合运算下形成一个群，称为该结构的自同构群，记作 $text{Aut}(S)$。研究这个群的结构可以揭示原数学结构的内在对称性和性质。它在群论、伽罗瓦理论（研究多项式和域扩张）、微分几何（研究流形）、图论等领域都有极其重要的应用。

自同构是数学结构自身的一种对称变换，它要求该变换既是同构（保持所有结构且双射），又是到自身的映射。它是理解结构内在对称性的关键概念。

网络扩展资料

"Automorphism"（自同构）是数学中的一个重要概念，尤其在抽象代数和几何学中频繁出现。

定义

自同构是指一个数学结构到自身的同构映射。简单来说，它是一个保持结构不变的“对称性操作”：

• 双射性：既是单射（一一对应）又是满射（覆盖整个集合）。
• 结构保持：对于该结构的所有运算或关系，映射前后保持一致。

数学领域的应用

1. 群论：群的自同构是群到自身的同映射，满足对任意元素 ( a, b )，有 ( phi(ab) = phi(a)phi(b) )。例如：

   • 整数加法群 ( mathbb{Z} ) 的自同构只有恒等映射和取反数映射。
   • 对称群 ( S_3 ) 的自同构群与其自身同构。

2. 环与域：环的自同构需同时保持加法和乘法结构，例如复数域的共轭映射 ( a+bi mapsto a-bi )。

3. 图论：图的顶点置换若保持边的关系不变，称为图的自同构，对应图的对称性。

与相关概念的区别

• 同构（Isomorphism）：指两个不同结构之间的映射，而自同构是同一结构的内部映射。
• 同态（Homomorphism）：不要求双射，仅要求结构保持。

意义

自同构群（所有自同构构成的群）揭示了结构的对称性。例如：

• 多项式的伽罗瓦群（Galois group）是根的自同构群，用于判断方程是否可解。
• 几何体的自同构群描述其对称性（如正多边形的二面体群）。

如果需要进一步了解具体例子或证明方法，建议参考抽象代数教材（如《代数学引论》）或相关数学课程资料。

别人正在浏览的英文单词...

wolfdolejurisdictionlifeboatallurementcavedcontraindicatingflatteredfundssuperiorsblending ratiogaussian eliminationGregory Peckheritage preservationmachine visionscientific and technical payoffsTony LeungarrhiniacacholongdermatophobeethiodidegalanthamineglycolideHalitheriinaeinfeedinvitatoryisoplethmargravinemethylclofenapateparacrine