automorphism是什麼意思，automorphism的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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在數學中，自同構（Automorphism） 指一個數學結構到其自身的一種特殊同構映射。它保留了該結構的全部運算和關系，可以理解為該結構的一種“對稱性”或“自我對稱變換”。

核心特征：

1. 同構性： 首先，它必須是該結構的一個同構（Isomorphism）。這意味着：
   • 它是一個雙射（Bijective） 映射（一一對應）。
   • 它保持（Preserve） 該結構定義的所有運算和關系。
2. 自映射性： 其次，這個同構映射的定義域和值域必須是同一個結構本身。即，它是從結構 $S$ 到 $S$ 自身的映射。

通俗理解： 想象一個幾何圖形（如正方形）。将這個圖形旋轉90度、180度、270度或沿某些軸對稱翻轉後，它看起來和原來完全一樣。這些旋轉和翻轉操作就是正方形這個幾何結構的自同構。它們改變了圖形内部點的位置（是雙射），但沒有改變圖形的本質形狀和對稱性（保持了結構）。

在不同數學結構中的具體表現：

1. 群自同構（Group Automorphism）：

   • 設 $G$$ 是一個群。
   • 一個自同構 $sigma: G to G$ 是一個雙射群同态（因此也是同構）。
   • 它必須滿足：對于所有 $a, b in G$，有 $sigma(a cdot b) = sigma(a) cdot sigma(b)$ （保持群運算）。
   • 例子：
     • 在整數加法群 $(mathbb{Z}, +)$ 上，映射 $n to -n$ 是一個自同構（取反）。
     • 在非零實數乘法群 $(mathbb{R}setminus{0}, times)$ 上，映射 $x to x^{-1}$ （取倒數）是一個自同構。
     • 在複數加法群 $(mathbb{C}, +)$ 上，複共轭 $z to overline{z}$ 是一個自同構。

2. 環自同構（Ring Automorphism）：

   • 設 $R$ 是一個環。
   • 一個自同構 $sigma: R to R$ 是一個雙射環同态（因此也是同構）。
   • 它必須同時保持加法和乘法運算：對于所有 $a, b in R$，有 $sigma(a + b) = sigma(a) + sigma(b)$ 和 $sigma(a cdot b) = sigma(a) cdot sigma(b)$。
   • 例子：
     • 在複數環 $(mathbb{C}, +, times)$ 上，複共轭 $z to overline{z}$ 是一個自同構（保持加法和乘法）。
     • 在實數環 $(mathbb{R}, +, times)$ 上，恒等映射 $x to x$ 是唯一的自同構（忽略選擇公理相關讨論）。

3. 域自同構（Field Automorphism）：

   • 域是一種特殊的環，所以域自同構的定義與環自同構相同，要求同時保持加法和乘法。
   • 例子：
     • 在複數域 $mathbb{C}$ 上，複共轭 $z to overline{z}$ 是一個自同構。
     • 在實數域 $mathbb{R}$ 上，恒等映射是唯一的自同構。
     • 在有理數域 $mathbb{Q}$ 上，恒等映射是唯一的自同構。

4. 向量空間自同構（Vector Space Automorphism / Linear Automorphism）：

   • 設 $V$ 是域 $F$ 上的向量空間。
   • 一個自同構 $T: V to V$ 是一個雙射線性變換（因此也是線性同構）。
   • 它必須滿足：對于所有向量 $mathbf{u}, mathbf{v} in V$ 和标量 $c in F$，有 $T(mathbf{u} + mathbf{v}) = T(mathbf{u}) + T(mathbf{v})$ 和 $T(cmathbf{u}) = cT(mathbf{u})$。
   • 例子：
     • 在 $mathbb{R}^n$ 上，任何可逆的 $n times n$ 實矩陣 $A$ 定義的線性變換 $mathbf{x} to Amathbf{x}$ 都是一個自同構。

5. 圖自同構（Graph Automorphism）：

   • 設 $G = (V, E)$ 是一個圖（$V$ 是頂點集，$E$ 是邊集）。
   • 一個自同構 $pi$ 是頂點集 $V$ 的一個置換（Permutation）。
   • 它必須保持鄰接關系：兩個頂點 $u$ 和 $v$ 相鄰當且僅當它們的像 $pi(u)$ 和 $pi(v)$ 也相鄰。
   • 這相當于對圖的頂點進行重新标記，使得新圖與原圖完全相同。
   • 例子：
     • 對于一個正方形（4個頂點，4條邊構成的環圖 $C_4$），旋轉90度、180度、270度以及沿不同對稱軸的翻轉所對應的頂點置換都是圖的自同構。

重要性： 自同構群（Automorphism Group）是研究數學結構對稱性的核心工具。一個結構的自同構在複合運算下形成一個群，稱為該結構的自同構群，記作 $text{Aut}(S)$。研究這個群的結構可以揭示原數學結構的内在對稱性和性質。它在群論、伽羅瓦理論（研究多項式和域擴張）、微分幾何（研究流形）、圖論等領域都有極其重要的應用。

自同構是數學結構自身的一種對稱變換，它要求該變換既是同構（保持所有結構且雙射），又是到自身的映射。它是理解結構内在對稱性的關鍵概念。

網絡擴展資料

"Automorphism"（自同構）是數學中的一個重要概念，尤其在抽象代數和幾何學中頻繁出現。

定義

自同構是指一個數學結構到自身的同構映射。簡單來說，它是一個保持結構不變的“對稱性操作”：

• 雙射性：既是單射（一一對應）又是滿射（覆蓋整個集合）。
• 結構保持：對于該結構的所有運算或關系，映射前後保持一緻。

數學領域的應用

1. 群論：群的自同構是群到自身的同映射，滿足對任意元素 ( a, b )，有 ( phi(ab) = phi(a)phi(b) )。例如：

   • 整數加法群 ( mathbb{Z} ) 的自同構隻有恒等映射和取反數映射。
   • 對稱群 ( S_3 ) 的自同構群與其自身同構。

2. 環與域：環的自同構需同時保持加法和乘法結構，例如複數域的共轭映射 ( a+bi mapsto a-bi )。

3. 圖論：圖的頂點置換若保持邊的關系不變，稱為圖的自同構，對應圖的對稱性。

與相關概念的區别

• 同構（Isomorphism）：指兩個不同結構之間的映射，而自同構是同一結構的内部映射。
• 同态（Homomorphism）：不要求雙射，僅要求結構保持。

意義

自同構群（所有自同構構成的群）揭示了結構的對稱性。例如：

• 多項式的伽羅瓦群（Galois group）是根的自同構群，用于判斷方程是否可解。
• 幾何體的自同構群描述其對稱性（如正多邊形的二面體群）。

如果需要進一步了解具體例子或證明方法，建議參考抽象代數教材（如《代數學引論》）或相關數學課程資料。

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