complex conjugate是什麼意思，complex conjugate的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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例句

專業解析

在複數和信號處理等領域中，複共轭 (Complex Conjugate) 是一個基礎且重要的概念。

1. 核心定義

   • 對于一個複數 ( z )，其标準形式為 ( z = a + bi )，其中：
     • ( a ) 是實部 (Real Part)
     • ( b ) 是虛部 (Imaginary Part)
     • ( i ) 是虛數單位 (Imaginary Unit)，滿足 ( i = -1 )。
   • 複數 ( z = a + bi ) 的複共轭定義為 ( overline{z} = a - bi )。
   • 操作本質：複共轭操作将原複數的虛部符號取反，實部保持不變。

2. 幾何意義 (複平面表示)

   • 複數可以在複平面上表示為一個點，橫軸為實軸 (Real Axis)，縱軸為虛軸 (Imaginary Axis)。
   • 複數 ( z = a + bi ) 對應點 ( (a, b) )。
   • 其複共轭 ( overline{z} = a - bi ) 則對應點 ( (a, -b) )。
   • 因此，複共轭操作在複平面上表現為關于實軸 (Real Axis) 的鏡像反射。

3. 關鍵性質 複共轭具有以下重要代數性質（設 ( z ) 和 ( w ) 為任意複數）：

   • 共轭的共轭： ( overline{(overline{z})} = z )
   • 共轭： ( overline{z + w} = overline{z} + overline{w} )
   • 差的共轭： ( overline{z - w} = overline{z} - overline{w} )
   • 積的共轭： ( overline{z times w} = overline{z} times overline{w} )
   • 商的共轭： ( overline{(z / w)} = overline{z} / overline{w} ) (當 ( w eq 0 ))
   • 實數倍： ( overline{kz} = koverline{z} ) (當 ( k ) 是實數)
   • 模的平方： ( z times overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a + b = |z| )。這個性質非常重要，它将複數與其共轭的乘積關聯到該複數的模（絕對值）的平方，這是一個實數。
   • 實部與虛部：實部 ( text{Re}(z) = frac{z + overline{z}}{2} )，虛部 ( text{Im}(z) = frac{z - overline{z}}{2i} )。

4. 主要應用

   • 簡化計算：在複數除法中，通過将分母乘以其共轭（從而使分母變為實數），可以簡化運算。例如：( frac{z}{w} = frac{zoverline{w}}{woverline{w}} = frac{zoverline{w}}{|w|} )。
   • 求模：計算複數的模（絕對值）( |z| = sqrt{z overline{z}} = sqrt{a + b} )。
   • 解方程：在求解具有實系數的多項式方程時，非實根總是以共轭對的形式出現。
   • 信號處理：在傅裡葉變換、頻譜分析、濾波器設計等領域至關重要。例如，實值信號的頻譜具有共轭對稱性（即 ( X(-omega) = overline{X(omega)} )），複共轭用于分析信號的幅度和相位信息。
   • 量子力學：用于表示算符的厄米共轭（伴隨算符），與物理系統的可觀測量密切相關。
   • 電路分析 (AC)：在交流電路分析中處理阻抗和相量時，複共轭用于計算功率（視在功率、有功功率、無功功率）。

參考來源：

• 複共轭的定義和基本性質是複分析 (Complex Analysis) 和線性代數 (Linear Algebra) 中的标準内容，可參考相關經典教材，如 Churchill 的《Complex Variables and Applications》或 Strang 的《Introduction to Linear Algebra》。
• 在工程應用方面（如信號處理、電路理論），标準教科書如 Oppenheim & Schafer 的《Discrete-Time Signal Processing》或 Hayt & Kemmerly 的《Engineering Circuit Analysis》均有詳細闡述。

網絡擴展資料

Complex Conjugate（複共轭）是複數運算中的一個重要概念，具體解釋如下：

1.定義

對于任意複數 ( z = a + bi )（其中 ( a ) 是實部，( b ) 是虛部，( i ) 是虛數單位，滿足 ( i = -1 )），它的複共轭定義為 ( overline{z} = a - bi )。複共轭的作用是将原複數的虛部符號取反。

示例：

• 若 ( z = 3 + 4i )，則其複共轭為 ( overline{z} = 3 - 4i )。
• 若 ( z = -2i )，則其複共轭為 ( overline{z} = 2i )。

2.幾何意義

在複平面上，複共轭表示複數關于實軸的對稱點。例如，複數 ( 3 + 4i ) 對應點 ((3, 4))，其共轭 ( 3 - 4i ) 對應點 ((3, -4))。

3.核心性質

• 模長平方：複數與其共轭的乘積等于模的平方，即
  $$ z cdot overline{z} = a + b = |z|. $$
• 運算性質：
  • 加法共轭：( overline{z_1 + z_2} = overline{z_1} + overline{z_2} )
  • 乘法共轭：( overline{z_1 cdot z_2} = overline{z_1} cdot overline{z_2} )
• 共轭的共轭：( overline{overline{z}} = z )。

4.應用場景

• 有理化分母：處理複數分母時，通過乘以共轭消去虛部。例如：
  $$ frac{1}{3 + 4i} = frac{3 - 4i}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = frac{3 - 4i}{25}. $$
• 求解方程：在多項式方程中，非實根必以共轭對形式出現（如 ( 2 + i ) 和 ( 2 - i ) 同為根）。
• 信號處理：用于分析交流電路或傅裡葉變換中的複信號。

5.符號表示

複共轭常用符號包括：

• 上橫線：( overline{z} )
• 星號：( z^* )（物理學中常見）。

通過複共轭，可以簡化複數運算并揭示複數在數學和工程中的對稱性。

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