complex conjugate是什么意思，complex conjugate的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

例句

专业解析

在复数和信号处理等领域中，复共轭 (Complex Conjugate) 是一个基础且重要的概念。

1. 核心定义

   • 对于一个复数 ( z )，其标准形式为 ( z = a + bi )，其中：
     • ( a ) 是实部 (Real Part)
     • ( b ) 是虚部 (Imaginary Part)
     • ( i ) 是虚数单位 (Imaginary Unit)，满足 ( i = -1 )。
   • 复数 ( z = a + bi ) 的复共轭定义为 ( overline{z} = a - bi )。
   • 操作本质：复共轭操作将原复数的虚部符号取反，实部保持不变。

2. 几何意义 (复平面表示)

   • 复数可以在复平面上表示为一个点，横轴为实轴 (Real Axis)，纵轴为虚轴 (Imaginary Axis)。
   • 复数 ( z = a + bi ) 对应点 ( (a, b) )。
   • 其复共轭 ( overline{z} = a - bi ) 则对应点 ( (a, -b) )。
   • 因此，复共轭操作在复平面上表现为关于实轴 (Real Axis) 的镜像反射。

3. 关键性质 复共轭具有以下重要代数性质（设 ( z ) 和 ( w ) 为任意复数）：

   • 共轭的共轭： ( overline{(overline{z})} = z )
   • 共轭： ( overline{z + w} = overline{z} + overline{w} )
   • 差的共轭： ( overline{z - w} = overline{z} - overline{w} )
   • 积的共轭： ( overline{z times w} = overline{z} times overline{w} )
   • 商的共轭： ( overline{(z / w)} = overline{z} / overline{w} ) (当 ( w eq 0 ))
   • 实数倍： ( overline{kz} = koverline{z} ) (当 ( k ) 是实数)
   • 模的平方： ( z times overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a + b = |z| )。这个性质非常重要，它将复数与其共轭的乘积关联到该复数的模（绝对值）的平方，这是一个实数。
   • 实部与虚部：实部 ( text{Re}(z) = frac{z + overline{z}}{2} )，虚部 ( text{Im}(z) = frac{z - overline{z}}{2i} )。

4. 主要应用

   • 简化计算：在复数除法中，通过将分母乘以其共轭（从而使分母变为实数），可以简化运算。例如：( frac{z}{w} = frac{zoverline{w}}{woverline{w}} = frac{zoverline{w}}{|w|} )。
   • 求模：计算复数的模（绝对值）( |z| = sqrt{z overline{z}} = sqrt{a + b} )。
   • 解方程：在求解具有实系数的多项式方程时，非实根总是以共轭对的形式出现。
   • 信号处理：在傅里叶变换、频谱分析、滤波器设计等领域至关重要。例如，实值信号的频谱具有共轭对称性（即 ( X(-omega) = overline{X(omega)} )），复共轭用于分析信号的幅度和相位信息。
   • 量子力学：用于表示算符的厄米共轭（伴随算符），与物理系统的可观测量密切相关。
   • 电路分析 (AC)：在交流电路分析中处理阻抗和相量时，复共轭用于计算功率（视在功率、有功功率、无功功率）。

参考来源：

• 复共轭的定义和基本性质是复分析 (Complex Analysis) 和线性代数 (Linear Algebra) 中的标准内容，可参考相关经典教材，如 Churchill 的《Complex Variables and Applications》或 Strang 的《Introduction to Linear Algebra》。
• 在工程应用方面（如信号处理、电路理论），标准教科书如 Oppenheim & Schafer 的《Discrete-Time Signal Processing》或 Hayt & Kemmerly 的《Engineering Circuit Analysis》均有详细阐述。

网络扩展资料

Complex Conjugate（复共轭）是复数运算中的一个重要概念，具体解释如下：

1.定义

对于任意复数 ( z = a + bi )（其中 ( a ) 是实部，( b ) 是虚部，( i ) 是虚数单位，满足 ( i = -1 )），它的复共轭定义为 ( overline{z} = a - bi )。复共轭的作用是将原复数的虚部符号取反。

示例：

• 若 ( z = 3 + 4i )，则其复共轭为 ( overline{z} = 3 - 4i )。
• 若 ( z = -2i )，则其复共轭为 ( overline{z} = 2i )。

2.几何意义

在复平面上，复共轭表示复数关于实轴的对称点。例如，复数 ( 3 + 4i ) 对应点 ((3, 4))，其共轭 ( 3 - 4i ) 对应点 ((3, -4))。

3.核心性质

• 模长平方：复数与其共轭的乘积等于模的平方，即
  $$ z cdot overline{z} = a + b = |z|. $$
• 运算性质：
  • 加法共轭：( overline{z_1 + z_2} = overline{z_1} + overline{z_2} )
  • 乘法共轭：( overline{z_1 cdot z_2} = overline{z_1} cdot overline{z_2} )
• 共轭的共轭：( overline{overline{z}} = z )。

4.应用场景

• 有理化分母：处理复数分母时，通过乘以共轭消去虚部。例如：
  $$ frac{1}{3 + 4i} = frac{3 - 4i}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = frac{3 - 4i}{25}. $$
• 求解方程：在多项式方程中，非实根必以共轭对形式出现（如 ( 2 + i ) 和 ( 2 - i ) 同为根）。
• 信号处理：用于分析交流电路或傅里叶变换中的复信号。

5.符号表示

复共轭常用符号包括：

• 上横线：( overline{z} )
• 星号：( z^* )（物理学中常见）。

通过复共轭，可以简化复数运算并揭示复数在数学和工程中的对称性。

别人正在浏览的英文单词...

catchdimsumpacketimpartialchamber musicBergcatalogsfrutexhyperglycaemiaMarrisnitricRobinsonadvertising mediabenchmark interest ratecurb inflationdividend distributionintegrate circuitPaul McCartneythrow into confusionalevinAthanasianbackwardationbathwaterbiorheologyblockslidegraveclothesheredoluesIERmacrocardiusdigraphs