[数] 变分法
The shallow impurity states in wurtzite nitrides are stu***d by a variational method.
利用变分法研究纤锌矿结构氮化物半导体材料中的浅杂质态问题。
The mean field variational method is a basic variational approximate inference method.
均值场变分方法是图模型最基本的变分近似推理方法。
We can also see the variational method plays an important role in classical differential geometry.
我们可以看到变分法在经典微分几何中的重要作用。
When energy equation for element was built, variational method was used to get ordinary differential equation.
在建立单元的能量方程后，对方程进行变分得到墙元的常微分方程。
The stress intensity factors are solved by means of variational method to satisfy the other boundary conditions.
应用变分原理满足其余边界条件并求解应力强度因子。变分方程中只有线积分。
|calculus of variations/variation method;[数]变分法
变分方法（variational method）是数学和物理学中用于求解极值问题的重要技术，其核心思想是通过构造试探函数并优化特定泛函来逼近真实解。该方法最早源于18世纪欧拉和拉格朗日对变分法的研究，现广泛应用于量子力学、工程优化和机器学习等领域。
在数学框架下，变分方法将微分方程求解问题转化为泛函极值问题。例如对于微分方程$Lψ = λψ$，可构造能量泛函： $$ J[ψ] = frac{langle ψ|L|ψ rangle}{langle ψ|ψ rangle} $$ 通过寻找使该泛函取极小值的函数ψ，即可得到方程的近似解。这种方法在求解薛定谔方程时尤为有效，量子力学中的变分原理即基于此。
工程领域常利用该方法进行结构优化设计。剑桥大学应用数学系的研究表明，变分法能有效处理带有约束条件的优化问题，如最小重量桥梁设计中的应力分布计算。在机器学习中，变分推断通过优化证据下界（ELBO）来近似复杂概率分布，这已成为贝叶斯统计建模的重要工具。
该方法的关键优势在于将无限维函数空间搜索转化为有限参数优化，但精度依赖试探函数的选择。斯坦福大学数值分析课程指出，合理选择基函数组能显著提升近似解的收敛速度。
Variational Method（变分法） 是数学和物理学中用于求解泛函极值问题的一种方法，其核心思想是通过寻找使泛函取得极值的函数来解决问题。以下是详细解释：
变分法的核心公式为变分原理，例如最小作用量原理可表示为： $$ delta S = delta int L(q, dot{q}, t) , dt = 0 $$ 其中，$delta$表示变分，$S$为作用量，$L$为拉格朗日函数。通过求解对应的欧拉方程，可得到系统的运动规律。
变分法通过泛函极值求解复杂问题，广泛应用于数学、物理和工程领域。其核心在于将问题转化为极值条件，并通过变分方程（如欧拉方程）推导解。如需进一步了解具体案例或公式推导，可参考数学物理方法教材或专业文献。
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