[數] 變分法
The shallow impurity states in wurtzite nitrides are stu***d by a variational method.
利用變分法研究纖鋅礦結構氮化物半導體材料中的淺雜質态問題。
The mean field variational method is a basic variational approximate inference method.
均值場變分方法是圖模型最基本的變分近似推理方法。
We can also see the variational method plays an important role in classical differential geometry.
我們可以看到變分法在經典微分幾何中的重要作用。
When energy equation for element was built, variational method was used to get ordinary differential equation.
在建立單元的能量方程後，對方程進行變分得到牆元的常微分方程。
The stress intensity factors are solved by means of variational method to satisfy the other boundary conditions.
應用變分原理滿足其餘邊界條件并求解應力強度因子。變分方程中隻有線積分。
|calculus of variations/variation method;[數]變分法
變分方法（variational method）是數學和物理學中用于求解極值問題的重要技術，其核心思想是通過構造試探函數并優化特定泛函來逼近真實解。該方法最早源于18世紀歐拉和拉格朗日對變分法的研究，現廣泛應用于量子力學、工程優化和機器學習等領域。
在數學框架下，變分方法将微分方程求解問題轉化為泛函極值問題。例如對于微分方程$Lψ = λψ$，可構造能量泛函： $$ J[ψ] = frac{langle ψ|L|ψ rangle}{langle ψ|ψ rangle} $$ 通過尋找使該泛函取極小值的函數ψ，即可得到方程的近似解。這種方法在求解薛定谔方程時尤為有效，量子力學中的變分原理即基于此。
工程領域常利用該方法進行結構優化設計。劍橋大學應用數學系的研究表明，變分法能有效處理帶有約束條件的優化問題，如最小重量橋梁設計中的應力分布計算。在機器學習中，變分推斷通過優化證據下界（ELBO）來近似複雜概率分布，這已成為貝葉斯統計建模的重要工具。
該方法的關鍵優勢在于将無限維函數空間搜索轉化為有限參數優化，但精度依賴試探函數的選擇。斯坦福大學數值分析課程指出，合理選擇基函數組能顯著提升近似解的收斂速度。
Variational Method（變分法） 是數學和物理學中用于求解泛函極值問題的一種方法，其核心思想是通過尋找使泛函取得極值的函數來解決問題。以下是詳細解釋：
變分法的核心公式為變分原理，例如最小作用量原理可表示為： $$ delta S = delta int L(q, dot{q}, t) , dt = 0 $$ 其中，$delta$表示變分，$S$為作用量，$L$為拉格朗日函數。通過求解對應的歐拉方程，可得到系統的運動規律。
變分法通過泛函極值求解複雜問題，廣泛應用于數學、物理和工程領域。其核心在于将問題轉化為極值條件，并通過變分方程（如歐拉方程）推導解。如需進一步了解具體案例或公式推導，可參考數學物理方法教材或專業文獻。
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