infimum是什么意思，infimum的意思翻译、用法、同义词、例句

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专业解析

在数学分析中，infimum（中文译为“下确界”或“最大下界”）是描述实数集合下限的重要概念。对于一个非空实数集合$S$，若存在实数$m$满足以下两个条件：

1. $m$是$S$的下界，即对任意$x in S$，有$m leq x$；
2. $m$是所有下界中最大的，即对任意其他下界$m'$，有$m' leq m$， 则称$m$为集合$S$的infimum，记为$inf S$。

与最小值的区别

• 若infimum属于原集合$S$，则它同时也是该集合的最小值（例如集合$$的infimum为1，且1是集合的最小值）；
• 若infimum不属于集合，则集合没有最小值（例如开区间$(0,1)$的infimum为0，但0不在区间内）。

应用领域

infimum在优化理论、实分析和测度论中均有广泛应用。例如，在定义函数的积分时，需通过分割区间的infimum和supremum计算上下和。

参考来源：

1. MathWorld《Infimum》
2. 维基百科《Infimum and supremum》

网络扩展资料

Infimum（下确界）是数学分析中的核心概念，特指实数集合的最大下界。以下是详细解释：

1. 基本定义

对于一个非空实数集 ( S subseteq mathbb{R} )，若存在实数 ( m ) 满足：

• 下界性：对所有 ( x in S )，有 ( m leq x )；
• 最大性：对任意其他下界 ( m' )，都有 ( m' leq m )；

则称 ( m ) 是 ( S ) 的 infimum，记作 ( inf S )。

2. 与最小值（Minimum）的区别

• 最小值必须属于集合 ( S )，而infimum 不一定属于 ( S )。
  例：集合 ( S = (0,1) )（开区间）的 ( inf S = 0 )，但 ( 0 otin S )，因此 ( S ) 没有最小值。

3. 存在性定理

根据实数完备性公理，任何非空且有下界的实数集必存在 infimum。这是实数集区别于有理数集的关键性质。

4. 典型例子

• 例1：集合 ( {1/n mid n in mathbb{N}} ) 的 ( inf = 0 )，但无最小值（因为0不在集合中）。
• 例2：集合 ( [-5, 10] ) 的 ( inf = -5 )，同时也是最小值。

5. 应用场景

Infimum 在分析学中用于定义极限、连续性、积分等概念。例如，函数的下极限（(liminf)）就是通过下确界构造的。

如果需要更严格的数学表述或证明细节，建议参考《实分析》教材（如Rudin的《数学分析原理》）。

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