infimum是什麼意思，infimum的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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專業解析

在數學分析中，infimum（中文譯為“下确界”或“最大下界”）是描述實數集合下限的重要概念。對于一個非空實數集合$S$，若存在實數$m$滿足以下兩個條件：

1. $m$是$S$的下界，即對任意$x in S$，有$m leq x$；
2. $m$是所有下界中最大的，即對任意其他下界$m'$，有$m' leq m$， 則稱$m$為集合$S$的infimum，記為$inf S$。

與最小值的區别

• 若infimum屬于原集合$S$，則它同時也是該集合的最小值（例如集合$$的infimum為1，且1是集合的最小值）；
• 若infimum不屬于集合，則集合沒有最小值（例如開區間$(0,1)$的infimum為0，但0不在區間内）。

應用領域

infimum在優化理論、實分析和測度論中均有廣泛應用。例如，在定義函數的積分時，需通過分割區間的infimum和supremum計算上下和。

參考來源：

1. MathWorld《Infimum》
2. 維基百科《Infimum and supremum》

網絡擴展資料

Infimum（下确界）是數學分析中的核心概念，特指實數集合的最大下界。以下是詳細解釋：

1. 基本定義

對于一個非空實數集 ( S subseteq mathbb{R} )，若存在實數 ( m ) 滿足：

• 下界性：對所有 ( x in S )，有 ( m leq x )；
• 最大性：對任意其他下界 ( m' )，都有 ( m' leq m )；

則稱 ( m ) 是 ( S ) 的 infimum，記作 ( inf S )。

2. 與最小值（Minimum）的區别

• 最小值必須屬于集合 ( S )，而infimum 不一定屬于 ( S )。
  例：集合 ( S = (0,1) )（開區間）的 ( inf S = 0 )，但 ( 0 otin S )，因此 ( S ) 沒有最小值。

3. 存在性定理

根據實數完備性公理，任何非空且有下界的實數集必存在 infimum。這是實數集區别于有理數集的關鍵性質。

4. 典型例子

• 例1：集合 ( {1/n mid n in mathbb{N}} ) 的 ( inf = 0 )，但無最小值（因為0不在集合中）。
• 例2：集合 ( [-5, 10] ) 的 ( inf = -5 )，同時也是最小值。

5. 應用場景

Infimum 在分析學中用于定義極限、連續性、積分等概念。例如，函數的下極限（(liminf)）就是通過下确界構造的。

如果需要更嚴格的數學表述或證明細節，建議參考《實分析》教材（如Rudin的《數學分析原理》）。

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