hyperellipsoid是什么意思，hyperellipsoid的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

n. [数] 超椭圆体

超椭球体（Hyperellipsoid）是n维欧几里得空间中椭球体的推广。其标准方程定义为：

$$ sum_{i=1}^{n} frac{(x_i - c_i)}{a_i} = 1 $$

其中：

核心特征与解释：

几何形态：超椭球体是一个封闭、凸且光滑（边界可微）的曲面及其内部区域。在二维空间（n=2）中，它表现为一个标准的椭圆（及其内部）；在三维空间（n=3）中，它表现为一个标准的椭球（及其内部）。在更高维度（n>3）中，它是这些形状的抽象推广。
对称性：超椭球体关于其中心点 $c$ 是中心对称的。同时，它也关于通过中心点 $c$ 且平行于坐标轴的超平面（hyperplanes）是轴对称的。
主轴与半轴：超椭球体的主轴方向通常与坐标轴方向一致（在标准方程中）。每条主轴的长度是其对应半轴长度 $a_i$ 的两倍。半轴长度 $a_i$ 是中心 $c$ 到超椭球体沿第 $i$ 个坐标轴方向的边界的距离。
体积： n维超椭球体的体积 $V$ 由以下公式给出： $$ V = frac{pi^{n/2}}{Gamma(frac{n}{2} + 1)} prod_{i=1}^{n} a_i $$ 其中 $Gamma$ 是伽玛函数。体积是所有半轴长度 $a_i$ 的乘积的函数，并乘以一个依赖于维度 $n$ 的常数因子。
退化情况：
- 当所有半轴长度相等（$a_1 = a_2 = ldots = an = r$）时，超椭球体退化为一个超球体（Hypersphere），其方程为 $sum{i=1}^{n} (x_i - c_i) = r$。
- 当某个半轴长度 $a_k to infty$ 时，超椭球体在该维度上无限延伸，退化为一个“圆柱”状结构（但在高维中更复杂）。

应用领域：超椭球体在多个数学和工程领域有重要应用：

参考资料：由于搜索结果未提供直接链接，以下解释基于标准的数学定义和概念，可参考权威数学或优化理论教材，例如 Stephen Boyd 和 Lieven Vandenberghe 的《Convex Optimization》。

Hyperellipsoid（超椭球）是一个数学术语，指高维空间中的椭球体，是三维椭球在n维空间中的推广。以下是详细解释：

定义与数学表达式在n维欧几里得空间中，hyperellipsoid是所有满足方程的点集： $$ sum_{i=1}^n frac{(x_i - c_i)}{a_i} = 1 $$ 其中：
- $c_i$ 是中心点的坐标，
- $a_i$ 是沿各坐标轴的半轴长度。
几何特性
- 对称性：关于中心点$c$对称；
- 半轴方向：沿坐标轴对齐，可通过线性变换旋转到任意方向；
- 体积：与半轴长度的乘积成正比，例如三维下体积为$frac{4}{3}pi a b c$，高维体积公式更复杂。
应用领域
- 机器学习中用于描述高维数据分布；
- 优化问题中的约束条件（如信赖域方法）；
- 计算机图形学中的碰撞检测。
与椭球的关系
- 三维时退化为普通椭球；
- 所有半轴相等时退化为超球体（hypersphere）。

以上解释基于数学公理和术语逻辑推导。如需具体文献案例，建议查询高维几何或凸优化领域的研究资料。