hyperellipsoid是什麼意思，hyperellipsoid的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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超橢球體（Hyperellipsoid）是n維歐幾裡得空間中橢球體的推廣。其标準方程定義為：

$$ sum_{i=1}^{n} frac{(x_i - c_i)}{a_i} = 1 $$

其中：

• $x = (x_1, x_2, ldots, x_n)$ 是空間中的點坐标。
• $c = (c_1, c_2, ldots, c_n)$ 是超橢球體的中心點坐标。
• $a_i > 0$（$i = 1, 2, ldots, n$）是沿各坐标軸方向的半軸長度。這些半軸長度決定了超橢球體在各個維度上的“伸展”程度。

核心特征與解釋：

1. 幾何形态： 超橢球體是一個封閉、凸且光滑（邊界可微）的曲面及其内部區域。在二維空間（n=2）中，它表現為一個标準的橢圓（及其内部）；在三維空間（n=3）中，它表現為一個标準的橢球（及其内部）。在更高維度（n>3）中，它是這些形狀的抽象推廣。
2. 對稱性： 超橢球體關于其中心點 $c$ 是中心對稱的。同時，它也關于通過中心點 $c$ 且平行于坐标軸的超平面（hyperplanes）是軸對稱的。
3. 主軸與半軸： 超橢球體的主軸方向通常與坐标軸方向一緻（在标準方程中）。每條主軸的長度是其對應半軸長度 $a_i$ 的兩倍。半軸長度 $a_i$ 是中心 $c$ 到超橢球體沿第 $i$ 個坐标軸方向的邊界的距離。
4. 體積： n維超橢球體的體積 $V$ 由以下公式給出： $$ V = frac{pi^{n/2}}{Gamma(frac{n}{2} + 1)} prod_{i=1}^{n} a_i $$ 其中 $Gamma$ 是伽瑪函數。體積是所有半軸長度 $a_i$ 的乘積的函數，并乘以一個依賴于維度 $n$ 的常數因子。
5. 退化情況：
   • 當所有半軸長度相等（$a_1 = a_2 = ldots = an = r$）時，超橢球體退化為一個超球體（Hypersphere），其方程為 $sum{i=1}^{n} (x_i - c_i) = r$。
   • 當某個半軸長度 $a_k to infty$ 時，超橢球體在該維度上無限延伸，退化為一個“圓柱”狀結構（但在高維中更複雜）。

應用領域： 超橢球體在多個數學和工程領域有重要應用：

• 優化理論： 常用于定義約束集或信賴域。
• 統計學與機器學習： 多元正态分布的等概率密度線是超橢球體；用于異常檢測、數據可視化（如PCA中的置信橢圓/橢球）。
• 控制理論： 用于描述系統狀态或誤差的允許範圍（可達集、不變集）。
• 計算機圖形學與幾何建模： 作為基本的包圍體（Bounding Volume）用于碰撞檢測或空間劃分。
• 數值分析： 在信賴域算法中定義搜索區域。

參考資料： 由于搜索結果未提供直接鍊接，以下解釋基于标準的數學定義和概念，可參考權威數學或優化理論教材，例如 Stephen Boyd 和 Lieven Vandenberghe 的《Convex Optimization》。

網絡擴展資料

Hyperellipsoid（超橢球）是一個數學術語，指高維空間中的橢球體，是三維橢球在n維空間中的推廣。以下是詳細解釋：

1. 定義與數學表達式 在n維歐幾裡得空間中，hyperellipsoid是所有滿足方程的點集： $$ sum_{i=1}^n frac{(x_i - c_i)}{a_i} = 1 $$ 其中：

   • $c_i$ 是中心點的坐标，
   • $a_i$ 是沿各坐标軸的半軸長度。

2. 幾何特性

   • 對稱性：關于中心點$c$對稱；
   • 半軸方向：沿坐标軸對齊，可通過線性變換旋轉到任意方向；
   • 體積：與半軸長度的乘積成正比，例如三維下體積為$frac{4}{3}pi a b c$，高維體積公式更複雜。

3. 應用領域

   • 機器學習中用于描述高維數據分布；
   • 優化問題中的約束條件（如信賴域方法）；
   • 計算機圖形學中的碰撞檢測。

4. 與橢球的關系

   • 三維時退化為普通橢球；
   • 所有半軸相等時退化為超球體（hypersphere）。

以上解釋基于數學公理和術語邏輯推導。如需具體文獻案例，建議查詢高維幾何或凸優化領域的研究資料。

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