母函数，[数] 生成函数
The use of different height generating function, it is possible that different landscape.
使用不同的高度生成函数，就可能出现不同的地貌。
In this paper, some combinatorial identities are proved based on binomial generating function.
以二项式作为生成函数，给出了几个组合恒等式证明。
The relation of branching random transition matrix and random generating function are investigated.
研究了分支随机转移矩阵与随机生成母函数的关系。
A closed form for the exponential generating function of the generalized Cauchy Numbers is obtained.
对该数的指数型生成函数，得到了它的封闭形式。
The generating function was adopted to research the behavior of branching processes in the former research.
在对分支过程性态的研究中，前人的研究工作都是借助矩母函数这一工具来实现的。
|generation function;母函数，[数]生成函数
生成函数（generating function）是数学中一种重要的工具，主要用于将序列或离散结构编码为形式幂级数，从而简化组合问题、递推关系或概率分布的分析。以下是详细解释：
生成函数是一个形式幂级数，其系数对应某个数列的项。例如，若数列为 ( a_0, a_1, a_2, dots )，其普通生成函数（Ordinary Generating Function, OGF）可表示为： $$ G(an; x) = sum{n=0}^{infty} a_n x^n $$ 生成函数不关注级数的收敛性，而是通过代数操作提取序列的性质。
普通生成函数（OGF）
用于组合计数，例如计算整数分拆、排列组合数。
例：斐波那契数列的生成函数为 ( frac{x}{1 - x - x} )。
指数生成函数（Exponential Generating Function, EGF）
适用于涉及排列或带有序结构的问题，形式为：
$$
E(an; x) = sum{n=0}^{infty} frac{a_n}{n!} x^n
$$
概率生成函数（PGF）
用于概率论中描述离散随机变量的分布，形式为 ( G_X(t) = E[t^X] )。
统一处理递推关系
通过生成函数将递推方程转化为代数方程求解。例如，解斐波那契数列的递推式 ( Fn = F{n-1} + F_{n-2} )。
组合计数与生成
将复杂组合问题（如分拆、多重集合排列）转化为多项式乘法或级数展开。
提取系数
通过求导、积分或级数展开提取特定项的系数，例如用二项式定理展开 ( (1+x)^n ) 得到组合数。
简单数列
数列 ( 1, 1, 1, dots ) 的生成函数为 ( frac{1}{1 - x} )。
二项式系数
组合数 ( binom{n}{k} ) 的生成函数是 ( (1 + x)^n )。
分拆问题
整数分拆的生成函数为无穷乘积 ( prod_{k=1}^{infty} frac{1}{1 - x^k} )。
生成函数通过将离散问题“代数化”，提供了一种高效的分析框架，是数学建模和算法设计中不可或缺的工具。
生成函数（Generating Function）是数学中的一个重要概念，用于描述某个数列的各项系数和对应的幂级数之间的关系。以下详细解释该概念。
生成函数通常用于离散数学和组合数学中的计数问题。它可以将一个数列中的各项系数转化为对应的幂级数，从而更方便地进行分析和计算。生成函数可以描述一个数列中的各项系数与它们所对应的幂级数之间的关系，因此可以用来求解各种组合问题。
生成函数可以看作是一种特殊的函数，它将一个数列中的各项系数转化为对应的幂级数。例如，对于数列{1,2,1,2,1,2}，它的生成函数为：
G(x) = 1 2x x^2 2x^3 x^4 2x^5
其中，G(x)表示生成函数，x表示幂级数的自变量。
通过生成函数，可以方便地进行各种计算和分析，例如求解数列的递推式、计算数列的前n项和等。
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