母函數，[數] 生成函數
The use of different height generating function, it is possible that different landscape.
使用不同的高度生成函數，就可能出現不同的地貌。
In this paper, some combinatorial identities are proved based on binomial generating function.
以二項式作為生成函數，給出了幾個組合恒等式證明。
The relation of branching random transition matrix and random generating function are investigated.
研究了分支隨機轉移矩陣與隨機生成母函數的關系。
A closed form for the exponential generating function of the generalized Cauchy Numbers is obtained.
對該數的指數型生成函數，得到了它的封閉形式。
The generating function was adopted to research the behavior of branching processes in the former research.
在對分支過程性态的研究中，前人的研究工作都是借助矩母函數這一工具來實現的。
|generation function;母函數，[數]生成函數
生成函數（generating function）是數學中一種重要的工具，主要用于将序列或離散結構編碼為形式幂級數，從而簡化組合問題、遞推關系或概率分布的分析。以下是詳細解釋：
生成函數是一個形式幂級數，其系數對應某個數列的項。例如，若數列為 ( a_0, a_1, a_2, dots )，其普通生成函數（Ordinary Generating Function, OGF）可表示為： $$ G(an; x) = sum{n=0}^{infty} a_n x^n $$ 生成函數不關注級數的收斂性，而是通過代數操作提取序列的性質。
普通生成函數（OGF）
用于組合計數，例如計算整數分拆、排列組合數。
例：斐波那契數列的生成函數為 ( frac{x}{1 - x - x} )。
指數生成函數（Exponential Generating Function, EGF）
適用于涉及排列或帶有序結構的問題，形式為：
$$
E(an; x) = sum{n=0}^{infty} frac{a_n}{n!} x^n
$$
概率生成函數（PGF）
用于概率論中描述離散隨機變量的分布，形式為 ( G_X(t) = E[t^X] )。
統一處理遞推關系
通過生成函數将遞推方程轉化為代數方程求解。例如，解斐波那契數列的遞推式 ( Fn = F{n-1} + F_{n-2} )。
組合計數與生成
将複雜組合問題（如分拆、多重集合排列）轉化為多項式乘法或級數展開。
提取系數
通過求導、積分或級數展開提取特定項的系數，例如用二項式定理展開 ( (1+x)^n ) 得到組合數。
簡單數列
數列 ( 1, 1, 1, dots ) 的生成函數為 ( frac{1}{1 - x} )。
二項式系數
組合數 ( binom{n}{k} ) 的生成函數是 ( (1 + x)^n )。
分拆問題
整數分拆的生成函數為無窮乘積 ( prod_{k=1}^{infty} frac{1}{1 - x^k} )。
生成函數通過将離散問題“代數化”，提供了一種高效的分析框架，是數學建模和算法設計中不可或缺的工具。
生成函數（Generating Function）是數學中的一個重要概念，用于描述某個數列的各項系數和對應的幂級數之間的關系。以下詳細解釋該概念。
生成函數通常用于離散數學和組合數學中的計數問題。它可以将一個數列中的各項系數轉化為對應的幂級數，從而更方便地進行分析和計算。生成函數可以描述一個數列中的各項系數與它們所對應的幂級數之間的關系，因此可以用來求解各種組合問題。
生成函數可以看作是一種特殊的函數，它将一個數列中的各項系數轉化為對應的幂級數。例如，對于數列{1,2,1,2,1,2}，它的生成函數為：
G(x) = 1 2x x^2 2x^3 x^4 2x^5
其中，G(x)表示生成函數，x表示幂級數的自變量。
通過生成函數，可以方便地進行各種計算和分析，例如求解數列的遞推式、計算數列的前n項和等。
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