generating function是什麼意思，generating function的意思翻譯、用法、同義詞、例句

常用詞典

母函數，[數] 生成函數

例句

The use of different height generating function, it is possible that different landscape.

使用不同的高度生成函數，就可能出現不同的地貌。

In this paper, some combinatorial identities are proved based on binomial generating function.

以二項式作為生成函數，給出了幾個組合恒等式證明。

The relation of branching random transition matrix and random generating function are investigated.

研究了分支隨機轉移矩陣與隨機生成母函數的關系。

A closed form for the exponential generating function of the generalized Cauchy Numbers is obtained.

對該數的指數型生成函數，得到了它的封閉形式。

The generating function was adopted to research the behavior of branching processes in the former research.

在對分支過程性态的研究中，前人的研究工作都是借助矩母函數這一工具來實現的。

同義詞

|generation function;母函數，[數]生成函數

專業解析

生成函數（Generating Function）是組合數學和離散數學中一種強大的工具，它通過将序列編碼為一個形式幂級數的系數，将離散序列的信息轉化為函數的形式進行分析。其核心思想是利用無窮級數來“生成”一個序列，并利用函數的運算和性質來研究序列的性質。

一、核心概念與定義

基本思想：對于一個無窮序列 ( a_0, a_1, a_2, a3, ldots )，其對應的普通生成函數（Ordinary Generating Function, OGF）定義為： $$ G(x) = sum{n=0}^{infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x + a_3x + cdots $$ 這裡的 ( x ) 通常被視為一個形式變量，無需考慮其收斂性（至少在形式幂級數的意義上）。序列的每一項 ( a_n ) 成為了幂級數展開式中 ( x^n ) 項的系數。
映射關系：生成函數建立了序列與函數之間的對應關系。序列的運算（如卷積）往往對應于生成函數的運算（如乘法），這使得分析序列性質的問題可以轉化為分析函數性質的問題。

二、主要類型與應用

普通生成函數 (OGF)：
- 主要用途：處理組合計數問題，特别是涉及組合對象（如組合、子集、劃分）的計數、帶約束的選擇問題以及求解線性遞推關系。
- 示例：序列 ( 1, 1, 1, 1, ldots ) 的 OGF 是幾何級數 ( frac{1}{1-x} )。序列 ( C(n, 0), C(n, 1), ldots, C(n, n) )（二項式系數）的 OGF 是 ( (1 + x)^n )。
指數生成函數 (Exponential Generating Function, EGF)：
- 定義：對于序列 ( a_0, a_1, a2, ldots )，其 EGF 定義為： $$ E(x) = sum{n=0}^{infty} a_n frac{x^n}{n!} = a_0 + a_1frac{x}{1!} + a_2frac{x}{2!} + a_3frac{x}{3!} + cdots $$
- 主要用途：處理排列計數問題、帶标籤對象的計數（如圖的标記）、分配問題以及某些常微分方程的求解。分母中的 ( n! ) 天然地與排列或标記對象的順序相關聯。
- 示例：序列 ( 1, 1, 1, 1, ldots ) 的 EGF 是 ( e^x )。序列 ( n! ) 的 EGF 是 ( frac{1}{1-x} )。

三、核心作用與優勢

求解遞推關系：通過将遞推關系轉化為生成函數滿足的方程（通常是代數方程或微分方程），然後求解該方程，最後将解展開成幂級數以得到序列的通項公式。這是求解線性遞推關系（如斐波那契數列）的标準方法。
組合計數與恒等式證明：生成函數為計算滿足特定條件的組合對象的數量提供了系統的方法。通過操作生成函數（加、乘、求導、積分、複合等）并比較系數，可以證明許多組合恒等式。
漸近分析：利用複分析中解析函數的性質（如奇點分析），生成函數可以用來研究序列 ( a_n ) 當 ( n ) 趨向無窮大時的漸近行為。
離散概率：在概率論中，生成函數（特别是概率生成函數）用于研究離散型隨機變量的分布，如計算期望、方差、矩以及獨立隨機變量分布。

參考資料：

MathWorld - Generating Function: https://mathworld.wolfram.com/GeneratingFunction.html
MIT OpenCourseWare - Generating Functions (Mathematics for Computer Science): https://ocw.mit.edu/courses/6-042j-mathematics-for-computer-science-fall-2010/pages/readings/ (需在課程材料中查找 Generating Functions 相關講義)
ProofWiki - Definition:Generating Function: https://proofwiki.org/wiki/Definition:Generating_Function

網絡擴展資料

生成函數（generating function）是數學中一種重要的工具，主要用于将序列或離散結構編碼為形式幂級數，從而簡化組合問題、遞推關系或概率分布的分析。以下是詳細解釋：

1. 基本定義

生成函數是一個形式幂級數，其系數對應某個數列的項。例如，若數列為 ( a_0, a_1, a_2, dots )，其普通生成函數（Ordinary Generating Function, OGF）可表示為： $$ G(an; x) = sum{n=0}^{infty} a_n x^n $$ 生成函數不關注級數的收斂性，而是通過代數操作提取序列的性質。

2. 常見類型

普通生成函數（OGF）
用于組合計數，例如計算整數分拆、排列組合數。
例：斐波那契數列的生成函數為 ( frac{x}{1 - x - x} )。
指數生成函數（Exponential Generating Function, EGF）
適用于涉及排列或帶有序結構的問題，形式為：
$$ E(an; x) = sum{n=0}^{infty} frac{a_n}{n!} x^n $$
概率生成函數（PGF）
用于概率論中描述離散隨機變量的分布，形式為 ( G_X(t) = E[t^X] )。

3. 核心作用

統一處理遞推關系
通過生成函數将遞推方程轉化為代數方程求解。例如，解斐波那契數列的遞推式 ( Fn = F{n-1} + F_{n-2} )。
組合計數與生成
将複雜組合問題（如分拆、多重集合排列）轉化為多項式乘法或級數展開。
提取系數
通過求導、積分或級數展開提取特定項的系數，例如用二項式定理展開 ( (1+x)^n ) 得到組合數。

4. 典型例子

簡單數列
數列 ( 1, 1, 1, dots ) 的生成函數為 ( frac{1}{1 - x} )。
二項式系數
組合數 ( binom{n}{k} ) 的生成函數是 ( (1 + x)^n )。
分拆問題
整數分拆的生成函數為無窮乘積 ( prod_{k=1}^{infty} frac{1}{1 - x^k} )。

5. 應用領域

組合數學：解決分拆、排列、圖論問題。
概率論：分析離散隨機變量的期望與方差。
物理與工程：處理信號處理中的遞推關系或離散變換。

生成函數通過将離散問題“代數化”，提供了一種高效的分析框架，是數學建模和算法設計中不可或缺的工具。

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