covariant是什么意思，covariant的意思翻译、用法、同义词、例句

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在数学和物理学中，"covariant"（协变的）是一个描述特定变换性质的核心概念，主要出现在张量分析、微分几何和理论物理（如广义相对论）中。它描述了当一个量在坐标变换下，其分量的变换方式与坐标基向量的变换方式相同（即"协变"地变化）。

核心含义与解释：

1. 相对于坐标基的变换性质：

   • 想象一个物理量（例如一个向量）在某个坐标系中被表示为一组分量。
   • 当我们改变坐标系（例如旋转或拉伸）时，描述该量的分量值会发生变化。
   • 如果一个量是协变的，那么当坐标系的基向量按某种方式变换时，该量的分量会以相同的方式（或更精确地说，以对偶的方式）变换。
   • 简单来说，协变分量会"跟随"坐标基的变化而变化。如果基向量被拉伸，协变分量也会被拉伸；如果基向量被旋转，协变分量也会以相同方式旋转。

2. 与逆变（Contravariant）的对比：

   • 理解协变通常需要与其对应的概念——逆变（contravariant）——进行对比。
   • 逆变分量：在坐标变换下，其变换方式与坐标基向量的逆变换方式相同（或更精确地说，与坐标微分的变换方式相同）。逆变分量倾向于"抵抗"或"反向"于基向量的变化。
   • 协变分量：如前所述，其变换方式与基向量的变换方式相同。
   • 一个向量本身（一个几何对象）是独立于坐标系的，但我们可以用两种方式来表示它：使用逆变分量（通常带上标，如 $v^i$）或协变分量（通常带下标，如 $v_i$）。这两种表示通过度量张量相互联系。

3. 数学表达（以向量分量为例）：

   • 假设有一个从坐标系 ${x^i}$ 到新坐标系 ${x'^j}$ 的变换。变换的雅可比矩阵为 $frac{partial x'^j}{partial x^i}$。
   • 一个向量 $mathbf{V}$ 的逆变分量 $v^i$ 在新坐标系下的分量 $v'^j$ 变换规则为： $$v'^j = frac{partial x'^j}{partial x^i} v^i$$ （对重复指标 $i$ 求和）。这称为逆变变换规则。
   • 同一个向量 $mathbf{V}$ 的协变分量 $v_i$ 在新坐标系下的分量 $v'_j$ 变换规则为： $$v'_j = frac{partial x^i}{partial x'^j} v_i$$ （对重复指标 $i$ 求和）。这称为协变变换规则。注意这里使用的是雅可比矩阵的逆 $frac{partial x^i}{partial x'^j}$。
   • 比较两个规则可以看出，协变分量的变换使用了雅可比矩阵的逆，这与坐标基向量 $mathbf{e}_i$ 的变换规则 $mathbf{e}'_j = frac{partial x^i}{partial x'^j} mathbf{e}_i$ 完全相同，因此说协变分量"随基变换"。

4. 协变张量：

   • 更一般地，一个协变张量（例如 $(0, k)$ 型张量）的分量在坐标变换下遵循协变变换规则。例如，一个二阶协变张量 $T$ 的分量 $T{ij}$ 变换为： $$T'{kl} = frac{partial x^i}{partial x'^k} frac{partial x^j}{partial x'^l} T_{ij}$$

5. 协变导数：

   • 在弯曲空间（如广义相对论的时空）中，普通导数不具有张量性质（即在不同坐标系下形式不同）。为了进行有几何意义的微分，引入了协变导数 $ abla$。
   • 协变导数将一个张量场映射到另一个张量场（增加一个协变指标），其定义保证了结果在坐标变换下是协变的（即结果是一个张量）。
   • 例如，向量场 $V^i$ 的协变导数是一个 $(1,1)$ 型张量： $$ ablaj V^i = frac{partial V^i}{partial x^j} + Gamma^i{jk} V^k$$ 其中 $Gamma^i_{jk}$ 是克里斯托费尔符号（联络系数），它包含了空间曲率的信息。协变导数 $ abla_j V^i$ 的分量变换规则保证了它是一个张量。

应用领域：

• 微分几何： 定义流形上的切向量、余切向量、张量场、联络、曲率等基本概念。
• 广义相对论： 爱因斯坦场方程是张量方程，其中的度规张量 $g_{mu u}$ 是一个二阶协变张量，它描述了时空的几何结构。物理定律在广义相对论中需要写成协变形式（即张量方程），以保证其在所有参考系下形式不变（广义协变性原理）。
• 连续介质力学： 描述应力和应变等物理量。
• 电磁学（相对论形式）： 电磁场张量 $F_{mu u}$ 是一个二阶协变张量。

权威参考来源：

• Wolfram MathWorld - Covariant: 提供协变在张量分析中的精确定义和数学背景（https://mathworld.wolfram.com/Covariant.html）。
• Encyclopedia of Mathematics - Covariant Tensor: 详细解释协变张量的概念和性质（https://encyclopediaofmath.org/wiki/Covariant_tensor）。
• Wikipedia - Covariance and Contravariance of Vectors: 清晰解释向量分量的协变和逆变概念及其变换规则（https://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors）。
• Wikipedia - General Relativity: 阐述协变性在广义相对论中的核心地位（https://en.wikipedia.org/wiki/General_relativity）。
• David Tong: Lectures on General Relativity: 剑桥大学知名教授的广义相对论讲义，深入讲解协变导数、张量等概念（http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gr.html）。
• Sean Carroll: Spacetime and Geometry: 标准广义相对论教材，第一章即详细讲解流形、切空间、余切空间、张量（包括协变张量）等基础（https://preposterousuniverse.com/spacetime-and-geometry/）。

网络扩展资料

"covariant"（协变）是一个数学、物理及计算机科学中的术语，其核心含义是描述一种随其他变量或变换规则保持协调变化的性质。具体解释如下：

1.基本定义

在数学和物理学中，协变指一个量或表达式在坐标变换或参数变化时，其变化方式与另一组变量或变换规则保持一致。例如：

• 张量分析：协变张量的分量在坐标变换时遵循特定的微分规则，与基向量的变化方式相反。
• 相对论：四维矢量在洛伦兹变换下需满足协变性，以保证物理定律形式不变。

2.领域应用

• 数学：协变式（covariant）通常指在多变量系统中，当其他变量变化时，该式通过线性组合保持内在关系不变。
• 编程语言：在Java等语言中，协变返回类型允许子类方法的返回类型比父类更具体（如父类返回Object，子类返回String）。
• 统计学：协变风险（covariant risk）指多个变量因共同因素（如气候）同时变化的风险。

3.与相关术语对比

• 协变（covariant） vs. 逆变（contravariant）：两者描述张量分量在坐标变换中的不同行为。例如，向量分量是逆变的，而其对偶向量（如梯度）是协变的。
• 协方差（covariance）：统计学中用于衡量两个变量线性相关性的指标，与协变概念相关但不同。

4.示例公式

在张量分析中，协变分量变换规则可表示为： $$ T'_{i} = frac{partial x^j}{partial x'^i} T_j $$ 其中，$T_j$为原坐标系分量，$T'_i$为新坐标系分量，$frac{partial x^j}{partial x'^i}$为雅可比矩阵元素。

协变的核心是“协调变化”，其具体含义需结合上下文（如数学变换、编程或统计模型）进一步细化。如需更深入的数学推导或应用案例，可参考权威物理或计算机科学教材。

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