covariant是什麼意思，covariant的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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在數學和物理學中，"covariant"（協變的）是一個描述特定變換性質的核心概念，主要出現在張量分析、微分幾何和理論物理（如廣義相對論）中。它描述了當一個量在坐标變換下，其分量的變換方式與坐标基向量的變換方式相同（即"協變"地變化）。

核心含義與解釋：

1. 相對于坐标基的變換性質：

   • 想象一個物理量（例如一個向量）在某個坐标系中被表示為一組分量。
   • 當我們改變坐标系（例如旋轉或拉伸）時，描述該量的分量值會發生變化。
   • 如果一個量是協變的，那麼當坐标系的基向量按某種方式變換時，該量的分量會以相同的方式（或更精确地說，以對偶的方式）變換。
   • 簡單來說，協變分量會"跟隨"坐标基的變化而變化。如果基向量被拉伸，協變分量也會被拉伸；如果基向量被旋轉，協變分量也會以相同方式旋轉。

2. 與逆變（Contravariant）的對比：

   • 理解協變通常需要與其對應的概念——逆變（contravariant）——進行對比。
   • 逆變分量：在坐标變換下，其變換方式與坐标基向量的逆變換方式相同（或更精确地說，與坐标微分的變換方式相同）。逆變分量傾向于"抵抗"或"反向"于基向量的變化。
   • 協變分量：如前所述，其變換方式與基向量的變換方式相同。
   • 一個向量本身（一個幾何對象）是獨立于坐标系的，但我們可以用兩種方式來表示它：使用逆變分量（通常帶上标，如 $v^i$）或協變分量（通常帶下标，如 $v_i$）。這兩種表示通過度量張量相互聯繫。

3. 數學表達（以向量分量為例）：

   • 假設有一個從坐标系 ${x^i}$ 到新坐标系 ${x'^j}$ 的變換。變換的雅可比矩陣為 $frac{partial x'^j}{partial x^i}$。
   • 一個向量 $mathbf{V}$ 的逆變分量 $v^i$ 在新坐标系下的分量 $v'^j$ 變換規則為： $$v'^j = frac{partial x'^j}{partial x^i} v^i$$ （對重複指标 $i$ 求和）。這稱為逆變變換規則。
   • 同一個向量 $mathbf{V}$ 的協變分量 $v_i$ 在新坐标系下的分量 $v'_j$ 變換規則為： $$v'_j = frac{partial x^i}{partial x'^j} v_i$$ （對重複指标 $i$ 求和）。這稱為協變變換規則。注意這裡使用的是雅可比矩陣的逆 $frac{partial x^i}{partial x'^j}$。
   • 比較兩個規則可以看出，協變分量的變換使用了雅可比矩陣的逆，這與坐标基向量 $mathbf{e}_i$ 的變換規則 $mathbf{e}'_j = frac{partial x^i}{partial x'^j} mathbf{e}_i$ 完全相同，因此說協變分量"隨基變換"。

4. 協變張量：

   • 更一般地，一個協變張量（例如 $(0, k)$ 型張量）的分量在坐标變換下遵循協變變換規則。例如，一個二階協變張量 $T$ 的分量 $T{ij}$ 變換為： $$T'{kl} = frac{partial x^i}{partial x'^k} frac{partial x^j}{partial x'^l} T_{ij}$$

5. 協變導數：

   • 在彎曲空間（如廣義相對論的時空）中，普通導數不具有張量性質（即在不同坐标系下形式不同）。為了進行有幾何意義的微分，引入了協變導數 $ abla$。
   • 協變導數将一個張量場映射到另一個張量場（增加一個協變指标），其定義保證了結果在坐标變換下是協變的（即結果是一個張量）。
   • 例如，向量場 $V^i$ 的協變導數是一個 $(1,1)$ 型張量： $$ ablaj V^i = frac{partial V^i}{partial x^j} + Gamma^i{jk} V^k$$ 其中 $Gamma^i_{jk}$ 是克裡斯托費爾符號（聯絡系數），它包含了空間曲率的信息。協變導數 $ abla_j V^i$ 的分量變換規則保證了它是一個張量。

應用領域：

• 微分幾何： 定義流形上的切向量、餘切向量、張量場、聯絡、曲率等基本概念。
• 廣義相對論： 愛因斯坦場方程是張量方程，其中的度規張量 $g_{mu u}$ 是一個二階協變張量，它描述了時空的幾何結構。物理定律在廣義相對論中需要寫成協變形式（即張量方程），以保證其在所有參考系下形式不變（廣義協變性原理）。
• 連續介質力學： 描述應力和應變等物理量。
• 電磁學（相對論形式）： 電磁場張量 $F_{mu u}$ 是一個二階協變張量。

權威參考來源：

• Wolfram MathWorld - Covariant: 提供協變在張量分析中的精确定義和數學背景（https://mathworld.wolfram.com/Covariant.html）。
• Encyclopedia of Mathematics - Covariant Tensor: 詳細解釋協變張量的概念和性質（https://encyclopediaofmath.org/wiki/Covariant_tensor）。
• Wikipedia - Covariance and Contravariance of Vectors: 清晰解釋向量分量的協變和逆變概念及其變換規則（https://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors）。
• Wikipedia - General Relativity: 闡述協變性在廣義相對論中的核心地位（https://en.wikipedia.org/wiki/General_relativity）。
• David Tong: Lectures on General Relativity: 劍橋大學知名教授的廣義相對論講義，深入講解協變導數、張量等概念（http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gr.html）。
• Sean Carroll: Spacetime and Geometry: 标準廣義相對論教材，第一章即詳細講解流形、切空間、餘切空間、張量（包括協變張量）等基礎（https://preposterousuniverse.com/spacetime-and-geometry/）。

網絡擴展資料

"covariant"（協變）是一個數學、物理及計算機科學中的術語，其核心含義是描述一種隨其他變量或變換規則保持協調變化的性質。具體解釋如下：

1.基本定義

在數學和物理學中，協變指一個量或表達式在坐标變換或參數變化時，其變化方式與另一組變量或變換規則保持一緻。例如：

• 張量分析：協變張量的分量在坐标變換時遵循特定的微分規則，與基向量的變化方式相反。
• 相對論：四維矢量在洛倫茲變換下需滿足協變性，以保證物理定律形式不變。

2.領域應用

• 數學：協變式（covariant）通常指在多變量系統中，當其他變量變化時，該式通過線性組合保持内在關系不變。
• 編程語言：在Java等語言中，協變返回類型允許子類方法的返回類型比父類更具體（如父類返回Object，子類返回String）。
• 統計學：協變風險（covariant risk）指多個變量因共同因素（如氣候）同時變化的風險。

3.與相關術語對比

• 協變（covariant） vs. 逆變（contravariant）：兩者描述張量分量在坐标變換中的不同行為。例如，向量分量是逆變的，而其對偶向量（如梯度）是協變的。
• 協方差（covariance）：統計學中用于衡量兩個變量線性相關性的指标，與協變概念相關但不同。

4.示例公式

在張量分析中，協變分量變換規則可表示為： $$ T'_{i} = frac{partial x^j}{partial x'^i} T_j $$ 其中，$T_j$為原坐标系分量，$T'_i$為新坐标系分量，$frac{partial x^j}{partial x'^i}$為雅可比矩陣元素。

協變的核心是“協調變化”，其具體含義需結合上下文（如數學變換、編程或統計模型）進一步細化。如需更深入的數學推導或應用案例，可參考權威物理或計算機科學教材。

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