algebraic structure是什么意思，algebraic structure的意思翻译、用法、同义词、例句

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专业解析

代数结构（algebraic structure）是数学中描述集合与运算关系的系统性框架，指一个非空集合配备一个或多个满足特定公理（如结合律、交换律、单位元存在性）的运算所形成的数学模型。例如，群（group）需满足封闭性、结合律、单位元与逆元；环（ring）则在加法群基础上引入满足分配律的乘法运算。

常见的代数结构包括：

1. 群：如整数集与加法构成的群，满足四个基本公理（来源：哈佛大学数学系教材《Abstract Algebra: Theory and Applications》）。
2. 环：如整数集合配备加法与乘法，满足分配律但乘法不一定有逆元（来源：普林斯顿大学公开课《Modern Algebra》）。
3. 域：如有理数集同时满足加法群与乘法群（零元素除外），例如实数域和复数域（来源：麻省理工学院《代数结构导论》讲义）。

代数结构的研究为密码学、编码理论及物理对称性分析提供了数学基础，例如群论在晶体学中的对称操作描述（来源：剑桥大学数学百科全书中“应用代数”章节）。

网络扩展资料

代数结构（Algebraic Structure）是数学中的一个核心概念，指由一个非空集合（称为“载体集”）和定义在该集合上的一个或多个运算所组成的数学结构，这些运算需满足特定的公理或规则。它通过抽象化不同数学对象的共同性质，为研究其内在规律提供统一框架。

核心特征

1. 载体集：包含所有参与运算的元素。
2. 运算规则：定义元素间的操作（如加法、乘法），并满足封闭性（运算结果仍在集合内）。
3. 公理约束：如结合律、交换律、单位元、逆元等，不同代数结构对应不同公理组合。

常见类型与示例

1. 群（Group）

   • 定义：一个集合与一个二元运算，满足封闭性、结合律、存在单位元、每个元素有逆元。
   • 例：整数集与加法（( (mathbb{Z}, +) )）构成群。

2. 环（Ring）

   • 定义：两个二元运算（通常称为加法和乘法），满足加法群、乘法结合律、分配律。
   • 例：整数集与加法、乘法（( (mathbb{Z}, +, times) )）构成环。

3. 域（Field）

   • 定义：支持加、减、乘、除（除零外）的环，如实数集（( mathbb{R} )）或有理数集（( mathbb{Q} )）。

4. 向量空间（Vector Space）

   • 定义：涉及标量（来自域）与向量的乘法和向量加法，满足线性运算规则。

重要性

• 统一研究工具：通过抽象化，揭示不同数学对象（如数、多项式、函数）的共性。
• 应用广泛：群论用于化学分子对称性分析；环与域支撑密码学（如椭圆曲线加密）；向量空间是线性代数的基础。

扩展概念

• 同态与同构：研究结构间关系，若存在保持运算的双射映射，则结构本质相同。
• 子结构与商结构：通过子集或等价类构造新结构（如子群、商环）。

简而言之，代数结构是数学抽象化的典型体现，通过定义运算与规则，将具体问题转化为通用模型，从而深化理论并推动跨领域应用。

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