algebraic structure是什麼意思，algebraic structure的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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專業解析

代數結構（algebraic structure）是數學中描述集合與運算關系的系統性框架，指一個非空集合配備一個或多個滿足特定公理（如結合律、交換律、單位元存在性）的運算所形成的數學模型。例如，群（group）需滿足封閉性、結合律、單位元與逆元；環（ring）則在加法群基礎上引入滿足分配律的乘法運算。

常見的代數結構包括：

1. 群：如整數集與加法構成的群，滿足四個基本公理（來源：哈佛大學數學系教材《Abstract Algebra: Theory and Applications》）。
2. 環：如整數集合配備加法與乘法，滿足分配律但乘法不一定有逆元（來源：普林斯頓大學公開課《Modern Algebra》）。
3. 域：如有理數集同時滿足加法群與乘法群（零元素除外），例如實數域和複數域（來源：麻省理工學院《代數結構導論》講義）。

代數結構的研究為密碼學、編碼理論及物理對稱性分析提供了數學基礎，例如群論在晶體學中的對稱操作描述（來源：劍橋大學數學百科全書中“應用代數”章節）。

網絡擴展資料

代數結構（Algebraic Structure）是數學中的一個核心概念，指由一個非空集合（稱為“載體集”）和定義在該集合上的一個或多個運算所組成的數學結構，這些運算需滿足特定的公理或規則。它通過抽象化不同數學對象的共同性質，為研究其内在規律提供統一框架。

核心特征

1. 載體集：包含所有參與運算的元素。
2. 運算規則：定義元素間的操作（如加法、乘法），并滿足封閉性（運算結果仍在集合内）。
3. 公理約束：如結合律、交換律、單位元、逆元等，不同代數結構對應不同公理組合。

常見類型與示例

1. 群（Group）

   • 定義：一個集合與一個二元運算，滿足封閉性、結合律、存在單位元、每個元素有逆元。
   • 例：整數集與加法（( (mathbb{Z}, +) )）構成群。

2. 環（Ring）

   • 定義：兩個二元運算（通常稱為加法和乘法），滿足加法群、乘法結合律、分配律。
   • 例：整數集與加法、乘法（( (mathbb{Z}, +, times) )）構成環。

3. 域（Field）

   • 定義：支持加、減、乘、除（除零外）的環，如實數集（( mathbb{R} )）或有理數集（( mathbb{Q} )）。

4. 向量空間（Vector Space）

   • 定義：涉及标量（來自域）與向量的乘法和向量加法，滿足線性運算規則。

重要性

• 統一研究工具：通過抽象化，揭示不同數學對象（如數、多項式、函數）的共性。
• 應用廣泛：群論用于化學分子對稱性分析；環與域支撐密碼學（如橢圓曲線加密）；向量空間是線性代數的基礎。

擴展概念

• 同态與同構：研究結構間關系，若存在保持運算的雙射映射，則結構本質相同。
• 子結構與商結構：通過子集或等價類構造新結構（如子群、商環）。

簡而言之，代數結構是數學抽象化的典型體現，通過定義運算與規則，将具體問題轉化為通用模型，從而深化理論并推動跨領域應用。

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