廣義本征值問題英文解釋翻譯、廣義本征值問題的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 generalized eigenvalue problem

分詞翻譯：

廣義的英語翻譯：

broad sense; generalized

本征值的英語翻譯：

【計】 eigenvalue; intrinsic value; proper value
【化】 characteristic value; eigen value; eigenvalue

問題的英語翻譯：

issue; problem; question; trouble
【計】 sieve problem
【經】 subject

專業解析

廣義本征值問題（Generalized Eigenvalue Problem）的漢英詞典式解析

1. 數學定義

廣義本征值問題指形式為 ( Amathbf{x} = lambda Bmathbf{x} ) 的方程，其中：

( A ) 和 ( B ) 為 ( n times n ) 矩陣（通常為實對稱或複埃爾米特矩陣）；
( lambda ) 為本征值（eigenvalue）；
( mathbf{x} ) 為非零本征向量（eigenvector）。
區别于标準本征值問題 ( Amathbf{x} = lambda mathbf{x} )，廣義問題引入了矩陣 ( B )（通常正定），用于描述物理系統中的質量或剛度矩陣。

來源：

Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations (4th ed.), Johns Hopkins University Press, p. 293.

張賢達. (2004). 《矩陣分析與應用》，清華大學出版社，第8章.

2. 物理與工程意義

在工程領域，廣義本征值問題常用于：

結構動力學：描述系統自由振動方程 ( Kmathbf{phi} = omega Mmathbf{phi} )，其中 ( K ) 為剛度矩陣，( M ) 為質量矩陣，( omega ) 為固有頻率。
量子力學：定态薛定谔方程 ( Hpsi = E Spsi ) 中，( H ) 為哈密頓算符，( S ) 為重疊積分矩陣。

來源：

Clough, R. W., & Penzien, J. (2003). Dynamics of Structures (3rd ed.), CSI Publishing, pp. 174–176.

Szabo, A., & Ostlund, N. S. (1996). Modern Quantum Chemistry, Dover Publications, Section 3.3.

3. 數值解法

常見算法包括：

QZ算法：適用于非對稱矩陣對（( A, B )）；
Lanczos疊代法：針對大規模稀疏矩陣優化；
Cholesky分解：當 ( B ) 正定時，可轉化為标準問題 ( B^{-1}Amathbf{x} = lambda mathbf{x} )。

來源：

Bai, Z., et al. (2000). Templates for Linear Algebra Problems, SIAM, Chapter 5.

Anderson, E., et al. (1999). LAPACK User's Guide, 3rd ed., Section 4.2.

4. 應用實例

橋梁模态分析：通過求解 ( (K - lambda M)mathbf{phi} = 0 ) 預測共振頻率；
材料科學：計算光子晶體的能帶結構 ( abla times abla times mathbf{E} = omega epsilon(mathbf{r}) mathbf{E} )。

來源：

Bathe, K. J. (1996). Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Chapter 10.

Joannopoulos, J. D., et al. (2008). Photonic Crystals: Molding the Flow of Light, Princeton University Press, Section 2.3.

注：本文定義與案例均引自經典學術文獻，内容符合數學與工程領域的權威表述。廣義本征值問題的核心在于通過矩陣對 ( (A, B) ) 刻畫系統内在特性，其解法與應用是計算科學的重要基石。

網絡擴展解釋

廣義本征值問題是标準本征值問題的擴展形式，其數學表達式為：
$$
Amathbf{x} = lambda Bmathbf{x}
$$
其中，( A ) 和 ( B ) 是方陣，( lambda ) 是廣義本征值，( mathbf{x} ) 是對應的廣義本征向量。以下從定義、特點和應用三方面詳細解釋：

1.定義與核心形式

标準本征值問題：形式為 ( Amathbf{x} = lambdamathbf{x} )，即 ( B ) 為單位矩陣時的特例（( B=I )）。
廣義形式：當 ( B ) 非單位矩陣或不可逆時，需直接求解 ( Amathbf{x} = lambda Bmathbf{x} )。此時問題無法通過簡單變換（如取 ( B^{-1} )）轉為标準形式。

2.關鍵特點

矩陣 ( B ) 的性質影響解：若 ( B ) 不可逆（奇異矩陣），可能不存在傳統意義的解，需引入廣義解概念。
解的存在性與唯一性：廣義本征值可能為複數，甚至存在無窮解，需通過矩陣對 ( (A, B) ) 的秩和結構分析确定。
物理意義：在量子力學中，廣義本征值對應力學量的可能測量值，廣義本征函數描述系統狀态。

3.應用領域

結構動力學：如振動分析中，廣義問題用于求解系統的固有頻率和振型。
量子力學：處理非正交基或含約束條件的算符問題。
數值計算：需借助特殊算法（如QZ分解）求解，尤其當 ( B ) 病态或奇異時。

廣義本征值問題擴展了标準問題的適用範圍，尤其在矩陣 ( B ) 不可逆或複雜結構時不可或缺。其解法和應用需結合具體領域需求，例如物理學中的測量值确定或工程中的系統穩定性分析。