indecomposability是什麼意思，indecomposability的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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Indecomposability（不可分解性） 是一個主要應用于數學領域，特别是抽象代數和範疇論中的概念。它描述了一個對象（如群、環、模、向量空間或更一般的範疇中的對象）不能被非平凡地分解為更小對象的“直和”（或範疇論中相應的積操作，如餘積）的性質。

1. 核心定義：

   • 一個對象被稱為不可分解的，如果它不能寫成兩個（或更多）非零真子對象的直和（或範疇中的餘積）。這裡的“非零”意味着不是零對象，“真子對象”意味着不是對象本身。
   • 更精确的數學表述（以模論為例）： 設 ( M ) 是一個模（例如一個阿貝爾群或一個向量空間）。如果 ( M ) 不能分解為兩個非零子模 ( M_1 ) 和 ( M_2 ) 的直和，即不存在滿足 ( M = M_1 oplus M_2 ) 且 ( M_1 eq 0 ), ( M_2 eq 0 ) 的子模 ( M_1 ) 和 ( M_2 )，那麼 ( M ) 就是不可分解的模。
   • 關鍵點： “不可分解”并不意味着該對象本身是“簡單”的（即沒有非平凡子對象）。一個不可分解的對象内部結構可能非常複雜，但它作為一個整體，無法被拆分成兩個更小的、獨立的、非零的部分（通過直方式）。簡單對象（如不可約模）一定是不可分解的，但反之不一定成立。

2. 在數學中的重要性：

   • 結構定理的基礎： 不可分解性是許多重要的結構定理的核心概念。最著名的是Krull-Schmidt 定理（或其推廣形式）。該定理指出，在滿足一定條件（如滿足升鍊或降鍊條件）的範疇（如有限生成模的範疇）中，一個對象可以被唯一地（在某種等價意義下）分解為有限多個不可分解對象的直和。
   • 分類與表示論： 在表示論（如群表示論、代數表示論）中，研究不可分解表示是理解整體表示範疇的關鍵步驟。不可分解模構成了模範疇的“基本構件”，許多複雜的模可以通過它們的不可分解直和項來研究。
   • 例子：
     • 在向量空間理論中，一維向量空間是不可分解的（也是簡單的）。
     • 在阿貝爾群理論中，無限循環群 ( mathbb{Z} ) 是不可分解的（但有無窮多個子群）。有限循環群 ( mathbb{Z}/6mathbb{Z} ) 是可分解的，因為它可以分解為 ( mathbb{Z}/2mathbb{Z} oplus mathbb{Z}/3mathbb{Z} )（根據中國剩餘定理）。而素數階的循環群 ( mathbb{Z}/pmathbb{Z} ) (( p ) 為素數) 是不可分解的（也是簡單的）。

3. 與相關概念的區别：

   • 不可約性： 一個對象是不可約的（或簡單的），如果它沒有非平凡的真子對象（即除了零對象和它自身以外的子對象）。不可約性比不可分解性更強：所有不可約對象都是不可分解的，但并非所有不可分解對象都是不可約的。例如，在整數環 ( mathbb{Z} ) 上的模中，( mathbb{Z} ) 本身作為 ( mathbb{Z} )-模是不可分解的（因為它不能寫成兩個非零子模的直和），但它不是不可約的，因為它有無窮多個非平凡子模（如 ( 2mathbb{Z}, 3mathbb{Z} ) 等）。
   • 不可約性關注内部子對象結構，而不可分解性關注外部分解方式。

參考資料：

• Wolfram MathWorld: Indecomposable Module （權威數學百科定義與基礎解釋）
• nLab: Indecomposable Object （範疇論視角下的定義與讨論）
• Springer Online Reference Works (Encyclopedia of Mathematics): Krull-Schmidt Theorem （關于核心結構定理的權威解釋）

網絡擴展資料

indecomposability（不可分解性）是一個由“indecomposable”（不可分解的）派生而來的名詞，指某事物無法被分解為更簡單或更基礎部分的性質。以下從不同角度詳細解釋：

1. 詞源與基本定義

   • 詞根分解：前綴“in-”（否定） + “decomposable”（可分解的）。
   • 基本含義：描述在特定條件下無法被拆分或簡化的特性，例如“indecomposable substance”（不可分解的物質）。

2. 數學領域應用

   • 代數結構：在環論或模論中，若一個模（module）不能分解為兩個非零子模的直和，則稱為不可分解模（indecomposable module）。
   • 矩陣理論：研究非負矩陣如何分解為完全不可分解矩陣的乘積，例如某些矩陣在特定運算下保持不可分性。

3. 哲學與抽象概念

   • 指某些問題或實體在邏輯上無法被拆分為獨立部分解決，如“indecomposable matter”強調事物的整體性。

4. 語言與例句

   • 常見搭配：indecomposability of systems（系統的不可分解性）、indecomposable sequence（不可分解序列）。
   • 例句：The indecomposability of the chemical compound makes it stable under high temperatures.（該化合物的不可分解性使其在高溫下保持穩定。）

總結來看，該詞強調事物在結構、功能或邏輯上的不可拆分性，具體含義需結合學科語境理解。如需更專業的數學定義或案例，可參考線性代數或抽象代數的相關資料。

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