Gauss elimination是什麼意思，Gauss elimination的意思翻譯、用法、同義詞、例句
常用詞典
高斯消去法
例句
The equations are solved numerically using the method of Gauss elimination and under-relaxation iteration by computor, thus the air flows in every branch are determined.
采用高斯消去法和欠松弛疊代法并應用計算機對這些方程進行數值求解，從而計算出各支路的流量。
On the basis of the multiprocessor platform, TMS320C80's programmable structure, the parallel matrix multiplication and parallel Gauss Jordan elimination algorithms are introduced.
基于多處理機平台TMS32 0C80 （C80 ） ，提出并行矩陣乘法和并行高斯約當消元法。
Different means are used for different kinds of noise respectively. The edges of target and background are enhanced and the elimination of Gauss noise and pulse noise are reduced.
該算法對紅外圖像處理過程中不同類型的噪聲采用不同的方法濾波，有效地濾除了高斯噪聲和脈沖噪聲，同時增強了目标和背景中的邊緣成分。
同義詞
|Gaussian reduction/gaussian elimination;高斯消去法
專業解析
高斯消元法（Gauss Elimination） 是一種用于求解線性方程組的經典數值方法，其核心思想是通過初等行變換将方程組的系數矩陣化為上三角矩陣（行階梯形），然後通過回代（Back Substitution）逐步求解未知數。該方法由德國數學家卡爾·弗裡德裡希·高斯（Carl Friedrich Gauss）系統提出并命名，是線性代數中基礎且重要的算法。
核心原理與步驟
-
前向消元（Forward Elimination）：
- 從第一個方程開始，選取主元（通常為當前列中絕對值最大的元素以避免舍入誤差）。
- 利用初等行變換（交換兩行、某行乘以非零常數、将一行的倍數加到另一行）将主元下方的所有元素消為零。
- 重複此過程，依次處理後續的主元列，直至将系數矩陣轉換為上三角矩陣。
- 示例過程：
$begin{cases}
a_{11}x1 + a{12}x2 + dots + a{1n}x_n = b1
a{21}x1 + a{22}x2 + dots + a{2n}x_n = b2
vdots
a{m1}x1 + a{m2}x2 + dots + a{mn}x_n = bm
end{cases}$
經過消元後變為：
$begin{cases}
c{11}x1 + c{12}x2 + dots + c{1n}x_n = d1
0 + c{22}x2 + dots + c{2n}x_n = d2
vdots
0 + 0 + dots + c{nn}x_n = dn
end{cases}$
（其中 $c{ii}
eq 0$）
-
回代（Back Substitution）：
- 從最後一個方程（僅含一個未知數）開始求解：$x_n = dn / c{nn}$。
- 将求得的 $xn$ 代入倒數第二個方程求解 $x{n-1}$。
- 依次向上代入，直至求出所有未知數的值。
關鍵特性與應用
- 求解線性方程組：是求解中小規模稠密線性方程組最直接的方法之一。
- 矩陣求逆：通過同時對單位矩陣進行相同的行變換，可求得系數矩陣的逆矩陣。
- 計算行列式：消元過程保持行列式值（交換行需變號），上三角矩陣的行列式等于主對角線元素乘積。
- LU分解基礎：高斯消元法實質上是将矩陣分解為一個下三角矩陣（L）和一個上三角矩陣（U）的乘積（A = LU）的過程。
- 適用性：要求系數矩陣是可逆的（非奇異）。若在消元過程中出現主元為零（且無法通過行交換解決），則矩陣奇異，方程組可能無解或有無窮多解。
參考來源
關于高斯消元法的詳細數學推導、算法僞代碼、數值穩定性讨論（如主元選擇的重要性）以及應用實例，可參考以下權威資料：
- 線性代數經典教材：如 Gilbert Strang 的 Introduction to Linear Algebra（第五版，Wellesley-Cambridge Press）第 2 章。
- 數值分析教材：如 Timothy Sauer 的 Numerical Analysis（第三版，Pearson）第 2.1 節。
- 數學百科全書：MathWorld 上的 "Gaussian Elimination" 條目（Wolfram Research）。
- 大學開放課程資源：如 MIT OpenCourseWare 的線性代數課程（18.06）講義。
網絡擴展資料
高斯消元法（Gauss Elimination）是一種用于解線性方程組的經典算法，其核心思想是通過行變換将系數矩陣轉化為上三角形式（行階梯形），再通過回代逐步求解未知數。以下是詳細解釋：
1.基本概念
- 定義：高斯消元法通過三種行變換（交換兩行、某行乘以非零常數、某行加上另一行的倍數）将線性方程組的增廣矩陣轉換為上三角矩陣，從而簡化求解過程。
- 目标：将方程組轉化為“階梯形”，即每一行的首個非零元素（主元）位于上一行主元的右側，形如：
$$
begin{cases}
a_{11}x1 + a{12}x2 + dots + a{1n}x_n = b_1
0 cdot x1 + a'{22}x2 + dots + a'{2n}x_n = b'_2
vdots
0 cdot x_1 + 0 cdot x2 + dots + a''{nn}x_n = b''_n
end{cases}
$$
2.步驟分解
-
前向消元：
- 從第一行開始，選擇當前列中絕對值最大的元素作為主元（避免除以零，提高數值穩定性）。
- 用主元所在的行消去下方所有行的當前列元素，使其變為零。
- 逐列重複，直到矩陣變為上三角形式。
-
回代求解：
- 從最後一行開始，直接解出最後一個未知數。
- 逐行向上代入已求出的未知數，解出剩餘變量。
3.應用場景
- 解線性方程組：適用于系數矩陣非奇異（有唯一解）的情況。
- 計算矩陣的秩：通過階梯形中非零行的數量确定秩。
- 求行列式：上三角矩陣的行列式等于主對角線元素的乘積。
- 矩陣求逆：通過消元法将增廣矩陣[A|I]轉化為[I|A^{-1}]。
4.注意事項
- 選主元策略：實際計算中常用“部分選主元”或“完全選主元”來減少舍入誤差。
- 計算複雜度：對于n個方程，時間複雜度為(O(n))，適合中小規模問題。
- 奇異矩陣：若消元後出現全零行且常數項非零，則方程組無解；若全零行且常數項為零，則有無窮多解。
5.曆史背景
該方法以數學家卡爾·高斯命名，但其原理在更早的中國古代數學著作《九章算術》中已有類似描述。高斯在19世紀将其系統化并應用于天體運動軌道計算。
如果需要進一步了解具體操作示例或數值穩定性分析，可以提供補充說明。
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