Gauss elimination是什么意思，Gauss elimination的意思翻译、用法、同义词、例句
常用词典
高斯消去法
例句
The equations are solved numerically using the method of Gauss elimination and under-relaxation iteration by computor, thus the air flows in every branch are determined.
采用高斯消去法和欠松弛迭代法并应用计算机对这些方程进行数值求解，从而计算出各支路的流量。
On the basis of the multiprocessor platform, TMS320C80's programmable structure, the parallel matrix multiplication and parallel Gauss Jordan elimination algorithms are introduced.
基于多处理机平台TMS32 0C80 （C80 ） ，提出并行矩阵乘法和并行高斯约当消元法。
Different means are used for different kinds of noise respectively. The edges of target and background are enhanced and the elimination of Gauss noise and pulse noise are reduced.
该算法对红外图像处理过程中不同类型的噪声采用不同的方法滤波，有效地滤除了高斯噪声和脉冲噪声，同时增强了目标和背景中的边缘成分。
同义词
|Gaussian reduction/gaussian elimination;高斯消去法
专业解析
高斯消元法（Gauss Elimination） 是一种用于求解线性方程组的经典数值方法，其核心思想是通过初等行变换将方程组的系数矩阵化为上三角矩阵（行阶梯形），然后通过回代（Back Substitution）逐步求解未知数。该方法由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）系统提出并命名，是线性代数中基础且重要的算法。
核心原理与步骤
-
前向消元（Forward Elimination）：
- 从第一个方程开始，选取主元（通常为当前列中绝对值最大的元素以避免舍入误差）。
- 利用初等行变换（交换两行、某行乘以非零常数、将一行的倍数加到另一行）将主元下方的所有元素消为零。
- 重复此过程，依次处理后续的主元列，直至将系数矩阵转换为上三角矩阵。
- 示例过程：
$begin{cases}
a_{11}x1 + a{12}x2 + dots + a{1n}x_n = b1
a{21}x1 + a{22}x2 + dots + a{2n}x_n = b2
vdots
a{m1}x1 + a{m2}x2 + dots + a{mn}x_n = bm
end{cases}$
经过消元后变为：
$begin{cases}
c{11}x1 + c{12}x2 + dots + c{1n}x_n = d1
0 + c{22}x2 + dots + c{2n}x_n = d2
vdots
0 + 0 + dots + c{nn}x_n = dn
end{cases}$
（其中 $c{ii}
eq 0$）
-
回代（Back Substitution）：
- 从最后一个方程（仅含一个未知数）开始求解：$x_n = dn / c{nn}$。
- 将求得的 $xn$ 代入倒数第二个方程求解 $x{n-1}$。
- 依次向上代入，直至求出所有未知数的值。
关键特性与应用
- 求解线性方程组：是求解中小规模稠密线性方程组最直接的方法之一。
- 矩阵求逆：通过同时对单位矩阵进行相同的行变换，可求得系数矩阵的逆矩阵。
- 计算行列式：消元过程保持行列式值（交换行需变号），上三角矩阵的行列式等于主对角线元素乘积。
- LU分解基础：高斯消元法实质上是将矩阵分解为一个下三角矩阵（L）和一个上三角矩阵（U）的乘积（A = LU）的过程。
- 适用性：要求系数矩阵是可逆的（非奇异）。若在消元过程中出现主元为零（且无法通过行交换解决），则矩阵奇异，方程组可能无解或有无穷多解。
参考来源
关于高斯消元法的详细数学推导、算法伪代码、数值稳定性讨论（如主元选择的重要性）以及应用实例，可参考以下权威资料：
- 线性代数经典教材：如 Gilbert Strang 的 Introduction to Linear Algebra（第五版，Wellesley-Cambridge Press）第 2 章。
- 数值分析教材：如 Timothy Sauer 的 Numerical Analysis（第三版，Pearson）第 2.1 节。
- 数学百科全书：MathWorld 上的 "Gaussian Elimination" 条目（Wolfram Research）。
- 大学开放课程资源：如 MIT OpenCourseWare 的线性代数课程（18.06）讲义。
网络扩展资料
高斯消元法（Gauss Elimination）是一种用于解线性方程组的经典算法，其核心思想是通过行变换将系数矩阵转化为上三角形式（行阶梯形），再通过回代逐步求解未知数。以下是详细解释：
1.基本概念
- 定义：高斯消元法通过三种行变换（交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的倍数）将线性方程组的增广矩阵转换为上三角矩阵，从而简化求解过程。
- 目标：将方程组转化为“阶梯形”，即每一行的首个非零元素（主元）位于上一行主元的右侧，形如：
$$
begin{cases}
a_{11}x1 + a{12}x2 + dots + a{1n}x_n = b_1
0 cdot x1 + a'{22}x2 + dots + a'{2n}x_n = b'_2
vdots
0 cdot x_1 + 0 cdot x2 + dots + a''{nn}x_n = b''_n
end{cases}
$$
2.步骤分解
-
前向消元：
- 从第一行开始，选择当前列中绝对值最大的元素作为主元（避免除以零，提高数值稳定性）。
- 用主元所在的行消去下方所有行的当前列元素，使其变为零。
- 逐列重复，直到矩阵变为上三角形式。
-
回代求解：
- 从最后一行开始，直接解出最后一个未知数。
- 逐行向上代入已求出的未知数，解出剩余变量。
3.应用场景
- 解线性方程组：适用于系数矩阵非奇异（有唯一解）的情况。
- 计算矩阵的秩：通过阶梯形中非零行的数量确定秩。
- 求行列式：上三角矩阵的行列式等于主对角线元素的乘积。
- 矩阵求逆：通过消元法将增广矩阵[A|I]转化为[I|A^{-1}]。
4.注意事项
- 选主元策略：实际计算中常用“部分选主元”或“完全选主元”来减少舍入误差。
- 计算复杂度：对于n个方程，时间复杂度为(O(n))，适合中小规模问题。
- 奇异矩阵：若消元后出现全零行且常数项非零，则方程组无解；若全零行且常数项为零，则有无穷多解。
5.历史背景
该方法以数学家卡尔·高斯命名，但其原理在更早的中国古代数学著作《九章算术》中已有类似描述。高斯在19世纪将其系统化并应用于天体运动轨道计算。
如果需要进一步了解具体操作示例或数值稳定性分析，可以提供补充说明。
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