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常用詞典

[數] 對角矩陣

例句

Transform a matrix to a diagonal matrix.

把一個對角矩陣轉化成對角矩陣。

The first form returns the diagonal matrix.

第一種形式返回對角矩陣。

The lumped mass matrix is a diagonal matrix.

集中質量陣是一個對用陣。

The square matrix is called a diagonal matrix.

該方矩陣稱為對角矩陣。

However, seeking a power of diagonal matrix is very difficult usually.

然而轉化為求對角矩陣的方幂比較困難。

專業解析

對角矩陣（Diagonal Matrix）是線性代數中的一種特殊方陣，其所有非主對角線元素均為零，而主對角線上的元素可以是任意值（包括零）。其數學定義如下：

定義

若一個 ( n times n ) 矩陣 ( A ) 滿足當 ( i eq j ) 時 ( a{ij} = 0 )，則稱 ( A ) 為對角矩陣。其标準形式可表示為：

$$

A = begin{pmatrix}

a{11} & 0 & cdots & 0

0 & a{22} & cdots & 0

vdots & vdots & ddots & vdots

0 & 0 & cdots & a{nn}

end{pmatrix}

$$

其中主對角線元素 ( a{11}, a{22}, ldots, a_{nn} ) 決定了矩陣的特性。

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核心性質與運算規則

1. 矩陣乘法簡化

   對角矩陣的乘法運算效率極高。若 ( D_1 ) 和 ( D_2 ) 均為對角矩陣，其乘積仍為對角矩陣，且結果矩陣的主對角線元素為對應位置元素的乘積：

   $$

   (D_1 D2){ii} = (d{1,ii}) times (d{2,ii})

   $$

   這一性質在數值計算中顯著降低複雜度。

2. 逆矩陣與幂運算

   • 若所有主對角線元素非零，則對角矩陣可逆，其逆矩陣也是對角矩陣，且滿足 ( (D^{-1}){ii} = frac{1}{d{ii}} )。
   • 對角矩陣的 ( k ) 次幂直接由主對角線元素的 ( k ) 次幂構成： ( (D^k){ii} = (d{ii})^k )。

3. 特征值與特征向量

   對角矩陣的特征值即其主對角線元素 ( a{11}, a{22}, ldots, a_{nn} )，對應的特征向量為标準基向量（如 ( mathbf{e}_1 = [1,0,ldots,0]^T )）。這一特性在矩陣對角化理論中至關重要。

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應用場景

1. 線性變換的坐标分離

   在幾何變換中，對角矩陣表示沿坐标軸的獨立縮放操作。例如，對角元素 ( (2, 3) ) 表示 ( x )-軸縮放 2 倍，( y )-軸縮放 3 倍。

2. 解耦微分方程組

   在動力系統分析中，通過矩陣對角化可将耦合微分方程組轉化為獨立方程。若系統矩陣 ( A ) 可對角化為 ( D )，則原方程 ( frac{dmathbf{x}}{dt} = Amathbf{x} ) 轉化為 ( frac{dmathbf{y}}{dt} = Dmathbf{y} )，其中 ( D ) 為對角矩陣，實現方程解耦。

3. 統計學中的協方差矩陣

   當隨機變量相互獨立時，其協方差矩陣為對角矩陣，非對角線元素（協方差）為零，對角線元素為各變量的方差。

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參考來源

1. MIT OpenCourseWare - 線性代數課程筆記

   對角矩陣的定義與運算性質在Gilbert Strang的教材中有系統闡述，強調其在矩陣分解中的應用。來源：MIT 18.06 Linear Algebra Lecture Notes（需訪問課程資源頁查看具體章節）。

2. Wolfram MathWorld - 對角矩陣條目

   提供嚴格的數學定義及性質證明，涵蓋逆矩陣、特征值等關鍵概念。來源：Wolfram MathWorld: Diagonal Matrix。

3. Khan Academy - 矩陣運算教程

   通過可視化案例展示對角矩陣在幾何變換中的作用，適合初學者理解。來源：Khan Academy - Diagonal Matrices。

網絡擴展資料

對角矩陣（Diagonal Matrix）是線性代數中的一種特殊方陣，其特點是所有非主對角線元素均為零，而主對角線上的元素可以是任意數（包括零）。以下是詳細解釋：

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1.定義與結構

• 主對角線：從矩陣左上角到右下角的連線上的元素稱為主對角線元素。
• 非對角線元素：所有不在主對角線上的元素必須為零。
• 形式化表示：對于 ( n times n ) 的方陣 ( A )，若滿足 ( a_{ij} = 0 )（當 ( i eq j ) 時），則 ( A ) 稱為對角矩陣。例如： $$ begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 5 end{pmatrix} $$

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2.核心性質

• 運算簡化：

  • 加減法：隻需對主對角線元素進行運算，例如： $$ begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 3 end{pmatrix}

    • begin{pmatrix} 2 & 0 0 & -1 end{pmatrix}

      begin{pmatrix} 3 & 0 0 & 2 end{pmatrix} $$

  • 乘法：對應主對角線元素相乘，例如： $$ begin{pmatrix} 2 & 0 0 & 3 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 4 & 0 0 & 5 end{pmatrix}

    begin{pmatrix} 8 & 0 0 & 15 end{pmatrix} $$

  • 行列式：等于主對角線元素的乘積，例如： $$ text{det}begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 5 end{pmatrix} = 2 times (-1) times 5 = -10 $$

• 逆矩陣（若存在）：主對角線元素取倒數，例如： $$ begin{pmatrix} 2 & 0 0 & 3 end{pmatrix}^{-1}

  begin{pmatrix} frac{1}{2} & 0 0 & frac{1}{3} end{pmatrix} $$

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3.特殊類型

• 标量矩陣（Scalar Matrix）：主對角線元素全相同，例如 ( kI )（( I ) 是單位矩陣，( k ) 為常數）： $$ begin{pmatrix} 3 & 0 0 & 3 end{pmatrix} $$
• 單位矩陣（Identity Matrix）：主對角線元素全為1，是标量矩陣的特例： $$ I = begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{pmatrix} $$

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4.應用場景

• 解線性方程組：若系數矩陣是對角矩陣，方程可直接通過除法求解。
• 特征值問題：對角矩陣的主對角線元素即為其特征值。
• 矩陣對角化：若矩陣可對角化，可通過相似變換轉化為對角矩陣，簡化計算。

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5.與非對角矩陣的區别

• 對角矩陣：僅主對角線有非零元素。
• 三角矩陣：主對角線以上或以下全為零（但非對角線區域可能有非零元素）。
• 稠密矩陣：大部分元素非零，與對角矩陣形成對比。

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通過以上分析，可以明确對角矩陣的簡潔結構和高效運算特性，使其成為線性代數中重要的工具之一。

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