罚函数英文解释翻译、罚函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 penalty function; penelty function
【化】 penalty function

penalize; punish
【法】 punish; punishment

function
【计】 F; FUNC; function

在数学优化领域，罚函数（Penalty Function）是一种将约束条件转化为目标函数附加项的数值计算方法。该术语对应的英文表述为"penalty function"，常见于约束优化问题的求解过程中。

根据经典优化理论著作《Numerical Optimization》的阐述，罚函数通过在目标函数中增加惩罚项，将原本受约束的优化问题转化为无约束优化问题。其标准数学表达式可表示为： $$ min f(x) + P(x) $$ 其中$f(x)$是原始目标函数，$P(x)$是根据约束条件构造的惩罚项。

工程应用中主要存在两类罚函数方法：

该方法在电力系统经济调度和机械结构设计优化领域均有成功应用案例。最新研究进展显示，自适应罚函数算法能有效平衡约束违反与目标优化的关系，提升收敛效率。

罚函数（Penalty Function）是数学优化中处理约束条件的一种方法，主要用于将有约束的优化问题转化为无约束问题，从而简化求解过程。以下是详细解释：

罚函数通过向目标函数中添加一个与约束条件相关的“惩罚项”，对违反约束的解施加惩罚。例如：

原问题：最小化 $f(x)$，满足约束 $g(x) leq 0$。
罚函数形式：转化为无约束问题：$F(x) = f(x) + rho cdot P(g(x))$，其中：
- $rho$ 是惩罚系数（正数），控制惩罚强度；
- $P(g(x))$ 是罚函数项，当 $g(x) > 0$（违反约束）时，$P$ 会显著增大，反之趋近于零。

优点：
- 简化问题：将有约束优化转化为无约束优化；
- 算法通用性：可与梯度下降、牛顿法等结合使用。
缺点：
- 参数敏感：惩罚系数 $rho$ 需要谨慎选择，过大易导致数值不稳定，过小则约束效果差；
- 收敛性依赖：外点法可能需要无限增大 $rho$ 才能收敛到精确解。

考虑优化问题：
$$min f(x) = x$$
约束条件：$x geq 1$。
使用外点罚函数法转化为：
$$F(x) = x + rho cdot (max(0, 1-x))$$
当 $rho to infty$ 时，解 $x^*$ 趋近于 1。

通过罚函数法，复杂的约束问题可被高效处理，但需根据问题特点选择罚函数类型和参数。