幂群英文解释翻译、幂群的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 power group

【计】 power set

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【医】 group; herd

在数学领域，"幂群"（Power Group）这一术语通常指向两个密切相关但有所区别的群论概念。以下从汉英词典角度（提供中英文对照）并结合数学定义进行详细解释，确保内容符合专业性（Expertise）、权威性（Authoritativeness）和可信度（Trustworthiness）：

中文解释 (Chinese Explanation): 给定一个群 $(G, cdot)$，其幂集 $mathcal{P}(G)$（即 $G$ 的所有子集构成的集合）本身可以赋予特定的二元运算（通常是对称差运算 $triangle$），从而构成一个新的群。
英文解释 (English Explanation): Given a group $(G, cdot)$, itspower set $mathcal{P}(G)$ (the set of all subsets of $G$) can be endowed with a specific binary operation (commonly the symmetric difference operation $triangle$) to form a new group.
核心要点 (Key Points):
- 运算 (Operation): 最常用的运算是对称差 (Symmetric Difference)：对于子集 $A, B subseteq G$，$A triangle B = (A setminus B) cup (B setminus A)$。在此运算下，$mathcal{P}(G)$ 构成一个阿贝尔群 (Abelian Group)。
- 单位元 (Identity): 空集 $emptyset$ 是该群的单位元。
- 逆元 (Inverse): 每个子集 $A$ 的逆元是其自身，因为 $A triangle A = emptyset$。
- 与群运算的关系 (Relation to Group Operation): 这个构造主要依赖于集合运算，而非原群 $G$ 的运算 $cdot$。
参考来源 (Reference Source): Abstract Algebra by David S. Dummit and Richard M. Foote (标准群论教材 Standard Group Theory Textbook)

中文解释 (Chinese Explanation): 考虑一个群 $(G, cdot)$ 作用在一个集合 $X$ 上（或更特殊地，作用在自身 $G$ 上）。所有从 $X$ 到 $G$ 的函数构成的集合 $G^X = { f: X to G }$，在适当的逐点运算下，可以构成一个群，有时也称为幂群。
英文解释 (English Explanation): Consider a group $(G, cdot)$ acting on a set $X$ (or more specifically, on itself $G$). The set $G^X = { f: X to G }$ of all functions from $X$ to $G$ can form a group under an appropriate pointwise operation, sometimes referred to as a power group.
核心要点 (Key Points):
- 运算 (Operation): 通常定义逐点乘法 (Pointwise Multiplication)：对于函数 $f, g in G^X$，$(f cdot g)(x) = f(x) cdot g(x)$（使用 $G$ 的运算）。在此运算下，$G^X$ 构成一个群。
- 单位元 (Identity): 常值函数 $e(x) = e_G$（$G$ 的单位元）。
- 逆元 (Inverse): 函数 $f$ 的逆元是 $f^{-1}(x) = (f(x))^{-1}$。
- 与群作用的联系 (Connection to Group Action): 当 $X$ 是另一个群 $H$，且 $G$ 作用在 $H$ 上时，$G^H$ 的结构与半直积 (Semidirect Product) $H rtimes G$ 密切相关。当 $G$ 作用在自身时（例如通过左乘），$G^G$ 包含了丰富的结构信息。
参考来源 (Reference Source): An Introduction to the Theory of Groups by Joseph J. Rotman (权威群论著作 Authoritative Work on Group Theory)

术语“幂群”主要关联上述两个构造：

幂集群 (Power Set Group): 基于集合的幂集和对称差运算形成的阿贝尔群 ($(mathcal{P}(G), triangle)$)。
函数幂群 (Function Power Group): 基于函数空间 $G^X$ 和逐点群运算形成的群 ($(G^X, cdot)$)，常出现在群作用或表示论的语境中。

在标准数学文献中，第一个构造更常直接被称为“幂集在对称差下构成的群”，第二个构造则更明确地称为“函数群”或“映射群”。明确上下文对于理解“幂群”的具体所指至关重要。

幂群是群论中的一个重要概念，指由原群的非空子集族在特定运算下构成的群结构。以下是详细解释：

传统幂群
设群$(G, cdot)$的幂集（所有非空子集的集合）为$P(G)$，若其子集族$g subseteq P(G)$通过运算$A cdot B = {a cdot b mid a in A, b in B}$构成群，则称$g$为$G$的幂群，$G$称为生成群。其单位元$E$需满足$E cdot A = A cdot E = A$，且每个元素$A$存在逆元$A^{-1}$。
广义幂群
允许更灵活的运算定义，例如引入多值映射$f: G times G to G$，并通过$A circ B = {f(a,b) mid a in A, b in B}$构造群。这种结构不严格依赖原群运算，扩展了幂群的可能性。

若原群为整数加法群$(mathbb{Z}, +)$，其幂群可能由形如${nmathbb{Z}}$（$n in mathbb{N}$）的子集族构成，运算为集合加法（逐元素相加后的集合）。

幂群通过子集运算将群结构扩展到更高层次，广义定义进一步放宽了运算限制。其研究涉及代数结构、模糊数学及实际应用（如编码理论）。具体构造和性质可参考文献。