积分方程式英文解释翻译、积分方程式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【机】 integal equation

分词翻译：

积分方程的英语翻译：

【计】 integral equation

式的英语翻译：

ceremony; formula; model; pattern; ritual; style; type
【化】 expression
【医】 F.; feature; formula; Ty.; type

专业解析

积分方程式（Integral Equation）是数学分析中一类包含未知函数在积分运算中的方程，其核心形式可表示为： $$ f(x) = lambda int_a^b K(x,t)varphi(t)dt + g(x) $$ 其中$varphi(t)$为待求函数，$K(x,t)$称为核函数，$lambda$为参数，$g(x)$为已知函数。

根据核函数与积分区间的不同，积分方程主要分为三类：

弗雷德霍姆方程（Fredholm Equation）
积分上下限为固定常数，例如：$varphi(x) = f(x) + lambda int_a^b K(x,t)varphi(t)dt$。该方程在电磁场理论中用于描述电势分布。
沃尔泰拉方程（Volterra Equation）
积分上限为变量，例如：$varphi(x) = f(x) + lambda int_a^x K(x,t)varphi(t)dt$。常见于人口动力学与记忆依赖型物理过程建模。
奇异积分方程（Singular Integral Equation）
核函数在积分区间内存在奇点，例如柯西主值积分形式，广泛应用于断裂力学与声学散射问题。

在工程领域，积分方程与微分方程存在等价转化关系。例如热传导方程的初值问题可通过积分方程表达，这种形式更便于处理边界条件非线性问题。美国数学学会将其列为泛函分析的重要研究对象，相关解法理论被收录于《Mathematics of Computation》等权威期刊。

网络扩展解释

积分方程式是数学中一类重要的方程，其核心特征是未知函数出现在积分号内。以下是详细解释：

1.基本定义

积分方程的一般形式为： $$ f(x) = int_{a}^{b} K(x, y) phi(y) , dy + g(x) $$ 其中：

(phi(x)) 是未知函数，
(K(x, y)) 是已知的核函数，
(g(x)) 是已知函数，
积分上下限 (a) 和 (b) 可以是固定值或变量（如与 (x) 相关）。

2.主要类型

根据积分限和方程结构，积分方程可分为：

弗雷德霍姆方程（Fredholm Equation）
积分上下限为固定常数，例如：
[ phi(x) = lambda int_{a}^{b} K(x, y) phi(y) , dy + g(x) ]
沃尔泰拉方程（Volterra Equation）
积分上限为变量 (x)，例如：
[ phi(x) = lambda int_{a}^{x} K(x, y) phi(y) , dy + g(x) ]
线性与非线性
若未知函数 (phi(x)) 仅以一次幂出现，则为线性积分方程，否则为非线性。

3.与微分方程的关系

积分方程和微分方程可以相互转化。例如：

微分方程初值问题可通过积分转换为沃尔泰拉型积分方程。
积分方程的解可能需要微分操作来简化。

4.应用领域

积分方程广泛应用于科学和工程领域：

物理学：电磁场理论、量子力学散射问题。
工程学：信号处理、图像重建。
经济学：动态优化模型中的连续时间决策问题。

5.解法与理论

解析方法：分离变量法、积分变换（如傅里叶变换）等。
数值方法：配置法、伽辽金法。
存在唯一性：弗雷德霍姆定理提供了线性方程解的存在条件。

示例说明

以弗雷德霍姆第二类方程为例： $$ phi(x) = f(x) + lambda int_{a}^{b} K(x, y) phi(y) , dy $$ 这里需通过迭代或特征值分析求解 (phi(x))，核函数 (K(x, y)) 的性质（如对称性、奇异性）直接影响解的行为。

积分方程因其能描述“全局”依赖关系（如历史积累效应），在复杂系统建模中具有独特优势。