庫拉托斯基定理英文解釋翻譯、庫拉托斯基定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 kuratowski's theorem

分詞翻譯：

庫的英語翻譯：

storeroom; warehouse
【計】 libraries; library
【醫】 bank
【經】 library

拉的英語翻譯：

pull; draw; drag in; draught; haul; pluck
【機】 pull; tension; tractive

托的英語翻譯：

entrust; hold in the palm; plead; set off; sth. serving as a support
【化】 Torr
【醫】 pad; support

斯的英語翻譯：

this
【化】 geepound

基的英語翻譯：

base; basic; foundation; key; primary; radix
【化】 group; radical
【醫】 base; basement; group; radical

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

庫拉托斯基定理（Kuratowski's Theorem）是圖論中判定平面圖的核心定理，其漢英對照表述及詳細解釋如下：

一、定理内容（中英對照）

中文表述：
一個圖是平面圖當且僅當它不包含同胚于 ( K5 )（完全五階圖）或 ( K{3,3} )（完全二分圖）的子圖。

英文表述：
A graph is planar if and only if it contains no subdivision of ( K5 ) or ( K{3,3} ).

二、關鍵概念解析

平面圖（Planar Graph）
指可嵌入二維平面且邊僅在頂點處相交的圖。例如，樹結構、網格圖均為平面圖。

同胚（Subdivision）
指通過在原圖的邊上添加新頂點（“細分”邊）得到的圖。若圖 ( G ) 包含 ( K5 ) 或 ( K{3,3} ) 的細分副本，則 ( G ) 必然非平面。

禁圖結構（Forbidden Subgraphs）
- ( K_5 )：5個頂點兩兩相連的完全圖（共10條邊）。
- ( K_{3,3} )：兩組各3個頂點構成的完全二分圖（所有頂點對跨組相連，共9條邊）。
  這兩類結構因交叉點無法消除而成為非平面圖的本質特征。

三、定理的拓撲學意義

庫拉托斯基定理通過有限禁圖（僅 ( K5 ) 和 ( K{3,3} )）刻畫了平面圖的拓撲性質。其等價表述為：

圖 ( G ) 可平面嵌入 (iff G) 不含 ( K5 ) 或 ( K{3,3} ) 的拓撲極小式（topological minor）。
該結論揭示了圖的空間嵌入性質僅由局部結構決定，為圖的可平面性提供了簡潔判據。

四、應用與權威參考

算法設計：基于該定理的平面性檢測算法（如Hopcroft-Tarjan算法）複雜度為 ( O(n) )（( n ) 為頂點數）。
工程實例：集成電路布線、交通網絡規劃中需規避 ( K5 ) 和 ( K{3,3} ) 結構以确保布局無交叉。

權威參考文獻：

Bondy, J. A., & Murty, U. S. R. (2008). Graph Theory. Springer. （定理标準表述與證明）
Diestel, R. (2017). Graph Theory (5th ed.). Springer. （拓撲圖論視角的擴展讨論）
Harary, F. (1969). Graph Theory. Addison-Wesley. （經典禁圖結構分析）

庫拉托斯基定理以波蘭數學家卡齊米日·庫拉托斯基（Kazimierz Kuratowski）命名，是圖論連接拓撲學的裡程碑成果，其禁圖分類思想深刻影響了後續的圖子式理論（Graph Minor Theorem）發展。

網絡擴展解釋

庫拉托夫斯基定理（Kuratowski's Theorem）是圖論中關于平面圖判定的核心定理，由波蘭數學家卡齊米日·庫拉托夫斯基（Kazimierz Kuratowski）于1930年提出。以下是該定理的詳細解釋：

定理定義

一個無向圖是平面圖（即可以畫在平面上且邊不交叉）的充分必要條件是：
它不包含與完全圖$K5$或完全二分圖$K{3,3}$的細分同構的子圖。

關鍵概念解析

平面圖
平面圖是指能夠嵌入平面，使得邊僅在頂點處相交的圖。例如，樹形結構、簡單回路等均為平面圖。
非平面圖的極小結構
- $K_5$：包含5個頂點的完全圖（每對頂點間均有邊連接）。
- $K_{3,3}$：完全二分圖，兩組各3個頂點，且每組頂點與另一組所有頂點相連（如公共設施與房屋的連通問題）。
細分（Subdivision）
對圖的一條邊進行細分，指在邊中插入新的頂點，将原邊分割為多條邊。例如，邊$e=(u,v)$插入頂點$w$後變為兩條邊$(u,w)$和$(w,v)$。
同構（Isomorphism）
若兩個圖可通過重命名頂點完全匹配，則稱它們同構。定理要求子圖與$K5$或$K{3,3}$的細分圖同構。

定理的意義

判定平面圖：通過檢查圖中是否存在$K5$或$K{3,3}$的細分結構，快速判斷圖的平面性。
拓撲學應用：在電路闆布線、地圖着色、網絡拓撲優化等領域有重要價值。

示例說明

非平面圖案例：
- 若圖中存在類似$K_5$的結構（即使邊被多次細分），則無法在平面上無交叉繪制。
- 例如，經典的“三間房屋連接三個公共設施”問題對應的$K_{3,3}$圖必為非平面圖。

注意事項

定理局限性：雖然定理提供了判定方法，但實際應用中可能需要結合算法（如平面性測試算法）提高效率。
術語混淆：需注意與組合數學中的“庫拉斯基定理”（涉及排列組合計算）區分。

如需進一步了解細分操作或定理證明步驟，可參考圖論教材或平面圖算法相關文獻。