数值矩阵乘法英文解释翻译、数值矩阵乘法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 numerical matrix multiplication

分词翻译：

数值的英语翻译：

numerical value
【计】 value of number
【经】 numerical value; quantitative value

矩阵乘法的英语翻译：

【计】 matrix multiplication

专业解析

数值矩阵乘法（Numerical Matrix Multiplication）是线性代数中的核心运算，指将两个矩阵按特定规则进行乘积计算的过程。其定义严格遵循数学规范，并在科学计算、人工智能等领域有广泛应用。以下是详细解释：

一、基本定义

设矩阵 ( A ) 为 ( m times n ) 阶，矩阵 ( B ) 为 ( n times p ) 阶，则二者的乘积 ( C = AB ) 是一个 ( m times p ) 阶矩阵。其中 ( C ) 的第 ( i ) 行第 ( j ) 列元素 ( c{ij} ) 的计算公式为：

c{ij} = sum{k=1}^{n} a{ik} cdot b_{kj}

即 ( A ) 的第 ( i ) 行与 ( B ) 的第 ( j ) 列对应元素的乘积之和。

二、计算规则与条件

维度匹配要求
矩阵乘法要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数（即 ( A ) 的列数 ( n ) 必须等于 ( B ) 的行数 ( n )），否则运算无定义。

示例：
- ( A )（3×2）可与 ( B )（2×4）相乘 → 结果 ( C ) 为 3×4 矩阵
- ( A )（2×3）与 ( B )（2×2）无法直接相乘
非交换性
矩阵乘法不满足交换律，即 ( AB eq BA )（除非特殊矩阵如对角阵）。例如：

$$ A = begin{bmatrix} 1 & 23 & 4 end{bmatrix},B = begin{bmatrix} 0 & 11 & 0 end{bmatrix} Rightarrow AB = begin{bmatrix} 2 & 14 & 3 end{bmatrix},BA = begin{bmatrix} 3 & 41 & 2 end{bmatrix} $$

三、核心应用场景

线性方程组求解
方程组 ( Ax = b ) 的解可通过矩阵运算表达，例如克拉默法则（Cramer's Rule）依赖矩阵乘法。

计算机图形学
三维空间中的旋转、缩放等变换通过变换矩阵的连乘实现。

深度学习
神经网络中的全连接层本质是权重矩阵与输入数据的乘法运算（( Y = WX + b )）。

四、汉英术语对照

中文术语	英文术语
数值矩阵乘法	Numerical Matrix Multiplication
元素乘积和	Element-wise Product Sum
维度匹配	Dimension Compatibility
非交换性	Non-commutativity

五、数学表达示例

设矩阵：

$$ A = begin{bmatrix} 1 & 23 & 4 end{bmatrix},B = begin{bmatrix} 5 & 67 & 8 end{bmatrix} $$

则 ( C = AB ) 的计算过程为：

$$ begin{align} c{11} &= 1 times 5 + 2 times 7 = 19

c{12} &= 1 times 6 + 2 times 8 = 22

c{21} &= 3 times 5 + 4 times 7 = 43

c{22} &= 3 times 6 + 4 times 8 = 50 end{align} $$

结果：

$$ C = begin{bmatrix} 19 & 2243 & 50 end{bmatrix} $$

参考资料

Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra（线性代数导论）, Wellesley-Cambridge Press.
David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications（线性代数及其应用）, Pearson Education.
高等教育出版社，《工程数学：线性代数》（第7版）.
Ian Goodfellow et al., Deep Learning（深度学习）, MIT Press.

网络扩展解释

数值矩阵乘法是线性代数中的核心运算，指两个矩阵按照特定规则进行乘积计算，生成新矩阵的过程。其核心特点和应用如下：

定义与规则

维度要求
若矩阵$A$为$m times n$，矩阵$B$为$n times p$，则它们的乘积矩阵$C$为$m times p$，即：
$$C{i,j} = sum{k=1}^n A{i,k} cdot B{k,j}$$
其中，$C$的第$i$行第$j$列元素是$A$的第$i$行与$B$的第$j$列的对应元素乘积之和。
非交换性
矩阵乘法不满足交换律，即$AB eq BA$（除非特殊情况下，如对角矩阵）。

数值计算特点

算法复杂度
传统算法的时间复杂度为$O(n)$，适用于小规模矩阵。大规模计算中常用优化算法（如Strassen算法、分块法）或并行计算加速。
数值稳定性
浮点数运算可能导致舍入误差累积，尤其在病态矩阵（条件数大）中需谨慎处理。
稀疏矩阵优化
若矩阵含大量零元素，可压缩存储（如CSR格式）并跳过零值乘法，提升效率。

应用场景

科学计算：解线性方程组（如有限元分析）。
计算机图形学：坐标变换（旋转、平移）。
机器学习：神经网络的前向传播本质是矩阵乘法链。

编程实现示例

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])# 2x2矩阵
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])# 2x2矩阵
C = A @ B# 使用@运算符进行矩阵乘法
# 结果：[[19, 22], [43, 50]]

注意事项

维度匹配：编程时需确保前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数。
内存限制：超大规模矩阵需分块计算或使用分布式系统。

通过结合数学规则与计算优化，数值矩阵乘法成为现代科学和工程中不可或缺的基础运算。