數值矩陣乘法英文解釋翻譯、數值矩陣乘法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 numerical matrix multiplication

分詞翻譯：

數值的英語翻譯：

numerical value
【計】 value of number
【經】 numerical value; quantitative value

矩陣乘法的英語翻譯：

【計】 matrix multiplication

專業解析

數值矩陣乘法（Numerical Matrix Multiplication）是線性代數中的核心運算，指将兩個矩陣按特定規則進行乘積計算的過程。其定義嚴格遵循數學規範，并在科學計算、人工智能等領域有廣泛應用。以下是詳細解釋：

一、基本定義

設矩陣 ( A ) 為 ( m times n ) 階，矩陣 ( B ) 為 ( n times p ) 階，則二者的乘積 ( C = AB ) 是一個 ( m times p ) 階矩陣。其中 ( C ) 的第 ( i ) 行第 ( j ) 列元素 ( c{ij} ) 的計算公式為：

c{ij} = sum{k=1}^{n} a{ik} cdot b_{kj}

即 ( A ) 的第 ( i ) 行與 ( B ) 的第 ( j ) 列對應元素的乘積之和。

二、計算規則與條件

維度匹配要求
矩陣乘法要求左矩陣的列數等于右矩陣的行數（即 ( A ) 的列數 ( n ) 必須等于 ( B ) 的行數 ( n )），否則運算無定義。

示例：
- ( A )（3×2）可與 ( B )（2×4）相乘 → 結果 ( C ) 為 3×4 矩陣
- ( A )（2×3）與 ( B )（2×2）無法直接相乘
非交換性
矩陣乘法不滿足交換律，即 ( AB eq BA )（除非特殊矩陣如對角陣）。例如：

$$ A = begin{bmatrix} 1 & 23 & 4 end{bmatrix},B = begin{bmatrix} 0 & 11 & 0 end{bmatrix} Rightarrow AB = begin{bmatrix} 2 & 14 & 3 end{bmatrix},BA = begin{bmatrix} 3 & 41 & 2 end{bmatrix} $$

三、核心應用場景

線性方程組求解
方程組 ( Ax = b ) 的解可通過矩陣運算表達，例如克拉默法則（Cramer's Rule）依賴矩陣乘法。

計算機圖形學
三維空間中的旋轉、縮放等變換通過變換矩陣的連乘實現。

深度學習
神經網絡中的全連接層本質是權重矩陣與輸入數據的乘法運算（( Y = WX + b )）。

四、漢英術語對照

中文術語	英文術語
數值矩陣乘法	Numerical Matrix Multiplication
元素乘積和	Element-wise Product Sum
維度匹配	Dimension Compatibility
非交換性	Non-commutativity

五、數學表達示例

設矩陣：

$$ A = begin{bmatrix} 1 & 23 & 4 end{bmatrix},B = begin{bmatrix} 5 & 67 & 8 end{bmatrix} $$

則 ( C = AB ) 的計算過程為：

$$ begin{align} c{11} &= 1 times 5 + 2 times 7 = 19

c{12} &= 1 times 6 + 2 times 8 = 22

c{21} &= 3 times 5 + 4 times 7 = 43

c{22} &= 3 times 6 + 4 times 8 = 50 end{align} $$

結果：

$$ C = begin{bmatrix} 19 & 2243 & 50 end{bmatrix} $$

參考資料

Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra（線性代數導論）, Wellesley-Cambridge Press.
David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications（線性代數及其應用）, Pearson Education.
高等教育出版社，《工程數學：線性代數》（第7版）.
Ian Goodfellow et al., Deep Learning（深度學習）, MIT Press.

網絡擴展解釋

數值矩陣乘法是線性代數中的核心運算，指兩個矩陣按照特定規則進行乘積計算，生成新矩陣的過程。其核心特點和應用如下：

定義與規則

維度要求
若矩陣$A$為$m times n$，矩陣$B$為$n times p$，則它們的乘積矩陣$C$為$m times p$，即：
$$C{i,j} = sum{k=1}^n A{i,k} cdot B{k,j}$$
其中，$C$的第$i$行第$j$列元素是$A$的第$i$行與$B$的第$j$列的對應元素乘積之和。
非交換性
矩陣乘法不滿足交換律，即$AB eq BA$（除非特殊情況下，如對角矩陣）。

數值計算特點

算法複雜度
傳統算法的時間複雜度為$O(n)$，適用于小規模矩陣。大規模計算中常用優化算法（如Strassen算法、分塊法）或并行計算加速。
數值穩定性
浮點數運算可能導緻舍入誤差累積，尤其在病态矩陣（條件數大）中需謹慎處理。
稀疏矩陣優化
若矩陣含大量零元素，可壓縮存儲（如CSR格式）并跳過零值乘法，提升效率。

應用場景

科學計算：解線性方程組（如有限元分析）。
計算機圖形學：坐标變換（旋轉、平移）。
機器學習：神經網絡的前向傳播本質是矩陣乘法鍊。

編程實現示例

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])# 2x2矩陣
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])# 2x2矩陣
C = A @ B# 使用@運算符進行矩陣乘法
# 結果：[[19, 22], [43, 50]]

注意事項

維度匹配：編程時需确保前一矩陣的列數等于後一矩陣的行數。
内存限制：超大規模矩陣需分塊計算或使用分布式系統。

通過結合數學規則與計算優化，數值矩陣乘法成為現代科學和工程中不可或缺的基礎運算。