invertible matrix是什么意思，invertible matrix的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

[数] 可逆矩阵

例句

An orthogonal matrix is an invertible matrix for which the inverse is equal to the transpose.

正交矩阵是可逆矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵。

Moreover, the resolving scheme of the invertible matrix problem involving the time domain iteration is presented.

此外，提出的的可逆矩阵问题涉及的时间域迭代的解决方案。

Then T is an invertible linear operator preserving rank - partial ordering on Sn(F) if and only if there exists an invertible matrix (F) such that where .

刻画了在非负无零因子交换半环上强保持可逆矩阵的线性算子。

Either the matrix is invertible.

矩阵是否可逆的两种。

Or, if a matrix is not invertible, then you have infinitely many solutions.

或者矩阵不可逆时，有无穷解。

专业解析

可逆矩阵（invertible matrix）是线性代数中的核心概念，指一个方阵（即行数与列数相等的矩阵）存在唯一的逆矩阵，使得两者相乘的结果为单位矩阵。具体定义为：

定义

设 ( A ) 是一个 ( n times n ) 方阵。若存在另一个 ( n times n ) 矩阵 ( B )，满足：

[ A cdot B = B cdot A = I_n ]

其中 ( I_n ) 是 ( n ) 阶单位矩阵（主对角线元素为 1，其余为 0），则称 ( A ) 为可逆矩阵（或称非奇异矩阵），( B ) 称为 ( A ) 的逆矩阵，记作 ( A^{-1} )。

关键性质与等价条件

唯一性
可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。若 ( A ) 可逆，则其逆 ( A^{-1} ) 由 ( A ) 唯一确定。
行列式非零
矩阵 ( A ) 可逆的充要条件是其行列式不为零，即：

[ det(A) eq 0 ]

这一性质是判断可逆性的最常用工具（来源：David C. Lay《线性代数及其应用》）。
满秩性
( A ) 可逆当且仅当其秩等于阶数（即满秩），表明其行（或列）向量线性无关。
与线性方程组的关系
若 ( A ) 可逆，则线性方程组 ( Amathbf{x} = mathbf{b} ) 有唯一解 ( mathbf{x} = A^{-1}mathbf{b} )。反之，若方程组对任意 ( mathbf{b} ) 均有唯一解，则 ( A ) 可逆（来源：Gilbert Strang《线性代数导论》）。
初等变换等价性
( A ) 可逆当且仅当它可通过初等行变换化为单位矩阵。

应用场景

解线性方程组：通过逆矩阵直接求解（理论意义大于实际计算，因数值计算通常采用更稳定的方法如LU分解）。
坐标变换：在图形学中，可逆矩阵表示可逆的线性变换（如旋转、缩放），其逆矩阵用于逆向变换。
密码学：可逆矩阵用于构造加密算法的可逆映射。

示例说明

考虑矩阵 ( A = begin{bmatrix} 1 & 23 & 4 end{bmatrix} ):

计算行列式：( det(A) = 1 times 4 - 2 times 3 = -2 eq 0 ) → ( A ) 可逆。
逆矩阵为 ( A^{-1} = -frac{1}{2} begin{bmatrix} 4 & -2-3 & 1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} -2 & 11.5 & -0.5 end{bmatrix} )，满足 ( A cdot A^{-1} = I_2 )。

权威参考

教材：
David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications（第5版）, Pearson.

Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra（第6版）, Wellesley-Cambridge Press.

数学百科：
可逆矩阵 - 维基百科（需注意部分区域访问限制）。

网络扩展资料

可逆矩阵（invertible matrix）是线性代数中的核心概念，指存在唯一逆矩阵的方阵。以下是详细解释：

定义若存在矩阵$B$使得$AB = BA = I$（$I$为单位矩阵），则称方阵$A$为可逆矩阵，$B$称为$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}$。
判断条件

行列式非零：$det(A) eq 0$（最核心判据）
矩阵满秩：$rank(A) = n$（对$n times n$矩阵）
行/列向量线性无关
齐次方程组$Ax=0$仅有零解

性质

唯一性：逆矩阵唯一存在
逆运算规则：$(A^{-1})^{-1} = A$，$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
转置性质：$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
行列式关系：$det(A^{-1}) = 1/det(A)$

计算方法对$2 times 2$矩阵： $$ A = begin{bmatrix} a & bc & d end{bmatrix},quad A^{-1} = frac{1}{ad-bc} begin{bmatrix} d & -b-c & a end{bmatrix} $$ 对高阶矩阵常用：高斯-若尔当消元法、伴随矩阵法（$A^{-1} = frac{1}{det(A)} text{adj}(A)$）
应用场景

解线性方程组$Ax = b$（解为$x = A^{-1}b$）
坐标变换的逆向操作
计算机图形学中的变换矩阵反转
密码学中的加密/解密算法设计

注：非方阵没有常规逆矩阵，但可能有广义逆（如摩尔-彭罗斯伪逆）。实际计算中直接求逆可能引入数值不稳定，通常采用矩阵分解等替代方法。

别人正在浏览的英文单词...

【别人正在浏览】