invertible matrix是什麼意思，invertible matrix的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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例句

專業解析

可逆矩陣（invertible matrix）是線性代數中的核心概念，指一個方陣（即行數與列數相等的矩陣）存在唯一的逆矩陣，使得兩者相乘的結果為單位矩陣。具體定義為：

定義

設 ( A ) 是一個 ( n times n ) 方陣。若存在另一個 ( n times n ) 矩陣 ( B )，滿足：

[ A cdot B = B cdot A = I_n ]

其中 ( I_n ) 是 ( n ) 階單位矩陣（主對角線元素為 1，其餘為 0），則稱 ( A ) 為可逆矩陣（或稱非奇異矩陣），( B ) 稱為 ( A ) 的逆矩陣，記作 ( A^{-1} )。

關鍵性質與等價條件

1. 唯一性

   可逆矩陣的逆矩陣是唯一的。若 ( A ) 可逆，則其逆 ( A^{-1} ) 由 ( A ) 唯一确定。

2. 行列式非零

   矩陣 ( A ) 可逆的充要條件是其行列式不為零，即：

   [ det(A) eq 0 ]

   這一性質是判斷可逆性的最常用工具（來源：David C. Lay《線性代數及其應用》）。

3. 滿秩性

   ( A ) 可逆當且僅當其秩等于階數（即滿秩），表明其行（或列）向量線性無關。

4. 與線性方程組的關系

   若 ( A ) 可逆，則線性方程組 ( Amathbf{x} = mathbf{b} ) 有唯一解 ( mathbf{x} = A^{-1}mathbf{b} )。反之，若方程組對任意 ( mathbf{b} ) 均有唯一解，則 ( A ) 可逆（來源：Gilbert Strang《線性代數導論》）。

5. 初等變換等價性

   ( A ) 可逆當且僅當它可通過初等行變換化為單位矩陣。

應用場景

• 解線性方程組：通過逆矩陣直接求解（理論意義大于實際計算，因數值計算通常采用更穩定的方法如LU分解）。
• 坐标變換：在圖形學中，可逆矩陣表示可逆的線性變換（如旋轉、縮放），其逆矩陣用于逆向變換。
• 密碼學：可逆矩陣用于構造加密算法的可逆映射。

示例說明

考慮矩陣 ( A = begin{bmatrix} 1 & 23 & 4 end{bmatrix} ):

• 計算行列式：( det(A) = 1 times 4 - 2 times 3 = -2 eq 0 ) → ( A ) 可逆。
• 逆矩陣為 ( A^{-1} = -frac{1}{2} begin{bmatrix} 4 & -2-3 & 1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} -2 & 11.5 & -0.5 end{bmatrix} )，滿足 ( A cdot A^{-1} = I_2 )。

權威參考

• 教材：

  David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications（第5版）, Pearson.

  Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra（第6版）, Wellesley-Cambridge Press.

• 數學百科：

  可逆矩陣 - 維基百科（需注意部分區域訪問限制）。

網絡擴展資料

可逆矩陣（invertible matrix）是線性代數中的核心概念，指存在唯一逆矩陣的方陣。以下是詳細解釋：

1. 定義 若存在矩陣$B$使得$AB = BA = I$（$I$為單位矩陣），則稱方陣$A$為可逆矩陣，$B$稱為$A$的逆矩陣，記作$A^{-1}$。

2. 判斷條件

• 行列式非零：$det(A) eq 0$（最核心判據）
• 矩陣滿秩：$rank(A) = n$（對$n times n$矩陣）
• 行/列向量線性無關
• 齊次方程組$Ax=0$僅有零解

3. 性質

• 唯一性：逆矩陣唯一存在
• 逆運算規則：$(A^{-1})^{-1} = A$，$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
• 轉置性質：$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• 行列式關系：$det(A^{-1}) = 1/det(A)$

4. 計算方法 對$2 times 2$矩陣： $$ A = begin{bmatrix} a & bc & d end{bmatrix},quad A^{-1} = frac{1}{ad-bc} begin{bmatrix} d & -b-c & a end{bmatrix} $$ 對高階矩陣常用：高斯-若爾當消元法、伴隨矩陣法（$A^{-1} = frac{1}{det(A)} text{adj}(A)$）

5. 應用場景

• 解線性方程組$Ax = b$（解為$x = A^{-1}b$）
• 坐标變換的逆向操作
• 計算機圖形學中的變換矩陣反轉
• 密碼學中的加密/解密算法設計

注：非方陣沒有常規逆矩陣，但可能有廣義逆（如摩爾-彭羅斯僞逆）。實際計算中直接求逆可能引入數值不穩定，通常采用矩陣分解等替代方法。

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