infinitely small是什么意思，infinitely small的意思翻译、用法、同义词、例句

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专业解析

"Infinitely small"（无穷小）是一个数学和科学中常用的概念，用于描述一个量在极限过程中趋近于零，但又不完全等于零的状态。它主要用于微积分、数学分析和物理学等领域，是理解连续性、导数和积分的基础。以下是详细解释：

1. 数学定义（微积分核心）

   在微积分中，无穷小量指在某个极限过程中（例如自变量趋近于某个点或无穷大时），其绝对值可以变得比任何预先给定的正数都要小的量。它不是零，但可以任意接近零。

   • 导数定义：函数 ( f(x) ) 在点 ( a ) 的导数定义为极限： $$ f'(a) = lim_{h to 0} frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$ 其中，( h ) 就是一个趋近于零的无穷小量（增量）。
   • 积分基础：定积分被定义为无穷多个无穷小矩形面积之和（黎曼和），每个矩形的宽度 ( Delta x ) 在极限下成为无穷小量 ( dx )。
   • 形式化（非标准分析）：在非标准分析中，无穷小量被严格定义为比任何标准实数都小但不为零的超实数。

2. 物理应用（建模与近似）

   物理学中常用无穷小概念进行建模和简化计算：

   • 连续介质力学：在流体力学和弹性力学中，将物质视为连续体，研究无穷小微元（体积元 ( dV )，质量元 ( dm )）上的受力、变形或流动。
   • 微分方程：许多物理定律（如牛顿第二定律、麦克斯韦方程组）用微分方程描述，涉及位置、速度、电场等的无穷小变化（( dx, dv, dE )）。
   • 近似计算：在工程和计算物理中，无穷小分析用于推导近似公式（如小角度近似 ( sin theta approx theta ) 当 ( theta ) 无穷小时）。

3. 与零的区别及意义

   无穷小量不等于零，这是其核心特征。虽然其值可以任意小，但在运算中保留其“非零”属性至关重要：

   • 在导数 ( frac{dy}{dx} ) 中，( dy ) 和 ( dx ) 都是无穷小量，但它们的比值（导数）可以是一个有限的、有意义的数（如速度、斜率）。
   • 在积分 ( int f(x) dx ) 中，无穷多个无穷小量 ( f(x) dx ) 的和可以是一个有限的面积或体积。
   • 忽略真正的无穷小量可能导致错误（如刚性假设下的应力奇异点），但在许多情况下，当量足够小时，其影响可忽略不计，这正是工程近似的基础。

权威参考来源：

• 微积分教材：如 Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning. 该书在导数和积分的章节详细阐述了无穷小的思想（标准极限定义）。
• 数学百科全书：如 Weisstein, E. W. (n.d.). Infinitesimal. MathWorld–A Wolfram Web Resource. 提供数学上的精确定义和历史背景。
• 物理教材：如 Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (2011). The Feynman Lectures on Physics, Vol. I. Basic Books. 在讲述运动学和动力学时自然运用了无穷小概念。
• 工程数学：如 Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10th ed.). Wiley. 将无穷小分析应用于求解工程问题的微分方程。

网络扩展资料

“Infinitely small”是一个数学与日常用语中均有应用的短语，其含义可从以下角度解析：

一、数学定义

在数学中，“infinitely small”指无穷小量，即一个变量在变化过程中趋近于零，其绝对值小于任何给定的正数。例如，微积分中的微分概念常涉及无穷小量，如当$Delta x to 0$时，$Delta y$可视为无穷小。

二、日常用法

在日常语境中，该短语形容极其微小、可忽略不计的事物。例如：“The particles in an atom are infinitely small.”（原子中的粒子极其微小）。

三、扩展说明

• 数学特性：无穷小量并非零，但无限接近于零，常用于极限和微积分理论中。
• 语言表达：副词“infinitely”强调程度上的无限性，修饰“small”时表示“微小到无法衡量”。

四、例句

• 数学场景：In calculus, an infinitely small change in $x$ is denoted as $dx$.（微积分中，$x$的无穷小变化写作$dx$。）
• 日常场景：The chance of this happening is infinitely small.（此事发生的概率微乎其微。）

通过结合数学理论与实际语境，“infinitely small”既描述严格的数学概念，也用于比喻性表达。

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