infinitely small是什麼意思，infinitely small的意思翻譯、用法、同義詞、例句
常用詞典
無窮小的，[數] 無限小
例句
We realize that we are infinitely small within the scheme of things.
我們認識到在大千世界中我們是極其渺小的。
The particles in an atom are infinitely small.
原子裡的粒子極小。
And an infinitely small universe is one that would undergo a Big Bang.
而一個無窮小的宇宙便會經曆一場大爆炸。
Newton says he has abandoned the infinitesimal or infinitely small quantity.
牛頓說他已放棄了微元或無窮小量。
You make the volume infinitely large, the density of the gas infinitely small.
密度無限小， 氣體分子之間的相互作用。
專業解析
"Infinitely small"（無窮小）是一個數學和科學中常用的概念，用于描述一個量在極限過程中趨近于零，但又不完全等于零的狀态。它主要用于微積分、數學分析和物理學等領域，是理解連續性、導數和積分的基礎。以下是詳細解釋：
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數學定義（微積分核心）
在微積分中，無窮小量指在某個極限過程中（例如自變量趨近于某個點或無窮大時），其絕對值可以變得比任何預先給定的正數都要小的量。它不是零，但可以任意接近零。
- 導數定義：函數 ( f(x) ) 在點 ( a ) 的導數定義為極限：
$$
f'(a) = lim_{h to 0} frac{f(a+h) - f(a)}{h}
$$
其中，( h ) 就是一個趨近于零的無窮小量（增量）。
- 積分基礎：定積分被定義為無窮多個無窮小矩形面積之和（黎曼和），每個矩形的寬度 ( Delta x ) 在極限下成為無窮小量 ( dx )。
- 形式化（非标準分析）：在非标準分析中，無窮小量被嚴格定義為比任何标準實數都小但不為零的超實數。
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物理應用（建模與近似）
物理學中常用無窮小概念進行建模和簡化計算：
- 連續介質力學：在流體力學和彈性力學中，将物質視為連續體，研究無窮小微元（體積元 ( dV )，質量元 ( dm )）上的受力、變形或流動。
- 微分方程：許多物理定律（如牛頓第二定律、麥克斯韋方程組）用微分方程描述，涉及位置、速度、電場等的無窮小變化（( dx, dv, dE )）。
- 近似計算：在工程和計算物理中，無窮小分析用于推導近似公式（如小角度近似 ( sin theta approx theta ) 當 ( theta ) 無窮小時）。
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與零的區别及意義
無窮小量不等于零，這是其核心特征。雖然其值可以任意小，但在運算中保留其“非零”屬性至關重要：
- 在導數 ( frac{dy}{dx} ) 中，( dy ) 和 ( dx ) 都是無窮小量，但它們的比值（導數）可以是一個有限的、有意義的數（如速度、斜率）。
- 在積分 ( int f(x) dx ) 中，無窮多個無窮小量 ( f(x) dx ) 的和可以是一個有限的面積或體積。
- 忽略真正的無窮小量可能導緻錯誤（如剛性假設下的應力奇異點），但在許多情況下，當量足夠小時，其影響可忽略不計，這正是工程近似的基礎。
權威參考來源：
- 微積分教材：如 Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning. 該書在導數和積分的章節詳細闡述了無窮小的思想（标準極限定義）。
- 數學百科全書：如 Weisstein, E. W. (n.d.). Infinitesimal. MathWorld–A Wolfram Web Resource. 提供數學上的精确定義和曆史背景。
- 物理教材：如 Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (2011). The Feynman Lectures on Physics, Vol. I. Basic Books. 在講述運動學和動力學時自然運用了無窮小概念。
- 工程數學：如 Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10th ed.). Wiley. 将無窮小分析應用于求解工程問題的微分方程。
網絡擴展資料
“Infinitely small”是一個數學與日常用語中均有應用的短語，其含義可從以下角度解析：
一、數學定義
在數學中，“infinitely small”指無窮小量，即一個變量在變化過程中趨近于零，其絕對值小于任何給定的正數。例如，微積分中的微分概念常涉及無窮小量，如當$Delta x to 0$時，$Delta y$可視為無窮小。
二、日常用法
在日常語境中，該短語形容極其微小、可忽略不計的事物。例如：“The particles in an atom are infinitely small.”（原子中的粒子極其微小）。
三、擴展說明
- 數學特性：無窮小量并非零，但無限接近于零，常用于極限和微積分理論中。
- 語言表達：副詞“infinitely”強調程度上的無限性，修飾“small”時表示“微小到無法衡量”。
四、例句
- 數學場景：In calculus, an infinitely small change in $x$ is denoted as $dx$.（微積分中，$x$的無窮小變化寫作$dx$。）
- 日常場景：The chance of this happening is infinitely small.（此事發生的概率微乎其微。）
通過結合數學理論與實際語境，“infinitely small”既描述嚴格的數學概念，也用于比喻性表達。
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