groupoid是什么意思，groupoid的意思翻译、用法、同义词、例句

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专业解析

群胚（Groupoid）是数学中一种兼具群与范畴性质的结构，广泛应用于代数拓扑、微分几何和非交换几何等领域。其核心定义为：一个群胚是由对象集合与可逆态射（即箭头）集合构成的结构，其中每个态射都能在满足特定组合条件下进行乘法运算，且每个态射均有逆元。

数学结构与特性

1. 对象与态射：群胚包含两类基本元素——对象（例如空间中的点）和连接对象的态射（例如点间的路径）。态射需满足可组合性，即只有当目标对象的源与另一态射的目标匹配时，两者才能组合。
2. 逆元存在性：每个态射均存在唯一的逆态射，使得两者的组合为单位态射（恒等映射）。这一性质使群胚成为描述对称性与局部等价性的有效工具。
3. 范畴论视角：群胚可视为所有态射均可逆的小范畴，其结构既保留群的运算特征，又扩展了范畴的灵活性。

典型应用领域

• 代数拓扑：在基本群胚（fundamental groupoid）中，对象为拓扑空间中的点，态射为点间的同伦等价路径，用于研究空间的连通性与环路性质。
• 非交换几何：阿兰·孔涅（Alain Connes）利用群胚描述量子空间与叶状结构的局部对称性，为非交换几何提供关键理论框架。
• 物理模型：群胚被用于规范场论中的规范变换描述，以及量子场论中粒子相互作用的形式化表达。

参考资料

1. Encyclopedia of Mathematics: Groupoid
2. Springer Reference: Algebraic Structures in Geometry
3. Stanford Encyclopedia of Philosophy: Category Theory

网络扩展资料

"groupoid"是一个数学术语，中文译为广群。以下是详细解释：

1.基本定义

在数学（尤其是范畴论和同伦论）中，群胚（groupoid）是群（group）概念的扩展。与群不同，群胚允许：

• 多个对象（而群只有一个对象）；
• 可逆的态射（morphism），但并非所有态射都能组合（需满足特定条件）。

2.数学背景

• 与群的关系：群可视为仅含一个对象的群胚，此时所有态射对应群的元素。
• 结构特性：群胚包含对象集合和态射集合，满足：
  • 每个态射有逆；
  • 存在单位态射；
  • 可组合的态射满足结合律。

3.应用领域

• 几何与拓扑：例如，描述流形上路径的同伦类。
• 模空间（Moduli Space）：某些群胚可对应几何对象的分类空间。

4.示例

若一个群胚仅有一个对象且态射为李群 ( G )，则对应的几何叠（stack）为 ( BG )（即 ( G ) 的分类空间）。

群胚通过放宽群的单对象限制，扩展了对称性和结构的研究范围，适用于更复杂的数学场景。如需进一步了解术语发音或具体数学构造，可参考词典或范畴论教材。

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