groupoid是什麼意思，groupoid的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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專業解析

群胚（Groupoid）是數學中一種兼具群與範疇性質的結構，廣泛應用于代數拓撲、微分幾何和非交換幾何等領域。其核心定義為：一個群胚是由對象集合與可逆态射（即箭頭）集合構成的結構，其中每個态射都能在滿足特定組合條件下進行乘法運算，且每個态射均有逆元。

數學結構與特性

1. 對象與态射：群胚包含兩類基本元素——對象（例如空間中的點）和連接對象的态射（例如點間的路徑）。态射需滿足可組合性，即隻有當目标對象的源與另一态射的目标匹配時，兩者才能組合。
2. 逆元存在性：每個态射均存在唯一的逆态射，使得兩者的組合為單位态射（恒等映射）。這一性質使群胚成為描述對稱性與局部等價性的有效工具。
3. 範疇論視角：群胚可視為所有态射均可逆的小範疇，其結構既保留群的運算特征，又擴展了範疇的靈活性。

典型應用領域

• 代數拓撲：在基本群胚（fundamental groupoid）中，對象為拓撲空間中的點，态射為點間的同倫等價路徑，用于研究空間的連通性與環路性質。
• 非交換幾何：阿蘭·孔涅（Alain Connes）利用群胚描述量子空間與葉狀結構的局部對稱性，為非交換幾何提供關鍵理論框架。
• 物理模型：群胚被用于規範場論中的規範變換描述，以及量子場論中粒子相互作用的形式化表達。

參考資料

1. Encyclopedia of Mathematics: Groupoid
2. Springer Reference: Algebraic Structures in Geometry
3. Stanford Encyclopedia of Philosophy: Category Theory

網絡擴展資料

"groupoid"是一個數學術語，中文譯為廣群。以下是詳細解釋：

1.基本定義

在數學（尤其是範疇論和同倫論）中，群胚（groupoid）是群（group）概念的擴展。與群不同，群胚允許：

• 多個對象（而群隻有一個對象）；
• 可逆的态射（morphism），但并非所有态射都能組合（需滿足特定條件）。

2.數學背景

• 與群的關系：群可視為僅含一個對象的群胚，此時所有态射對應群的元素。
• 結構特性：群胚包含對象集合和态射集合，滿足：
  • 每個态射有逆；
  • 存在單位态射；
  • 可組合的态射滿足結合律。

3.應用領域

• 幾何與拓撲：例如，描述流形上路徑的同倫類。
• 模空間（Moduli Space）：某些群胚可對應幾何對象的分類空間。

4.示例

若一個群胚僅有一個對象且态射為李群 ( G )，則對應的幾何疊（stack）為 ( BG )（即 ( G ) 的分類空間）。

群胚通過放寬群的單對象限制，擴展了對稱性和結構的研究範圍，適用于更複雜的數學場景。如需進一步了解術語發音或具體數學構造，可參考詞典或範疇論教材。

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