bilinearity是什么意思，bilinearity的意思翻译、用法、同义词、例句

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例句

专业解析

双线性（bilinearity）是数学中描述映射函数在两个变量上分别具有线性性质的重要概念。具体而言，若函数 ( f: V times W to X )（其中 ( V, W ) 是域 ( mathbb{F} ) 上的向量空间，( X ) 也是 ( mathbb{F} ) 上的向量空间）满足以下两个条件，则称为双线性映射：

1. 固定第一个变量时，对第二个变量线性：

   对任意固定的 ( mathbf{v} in V )，映射 ( mathbf{w} mapsto f(mathbf{v}, mathbf{w}) ) 是从 ( W ) 到 ( X ) 的线性映射。即对任意 ( mathbf{w}_1, mathbf{w}_2 in W ) 和标量 ( a, b in mathbb{F} )，有：

   $$ f(mathbf{v}, amathbf{w}_1 + bmathbf{w}_2) = a f(mathbf{v}, mathbf{w}_1) + b f(mathbf{v}, mathbf{w}_2) $$

2. 固定第二个变量时，对第一个变量线性：

   对任意固定的 ( mathbf{w} in W )，映射 ( mathbf{v} mapsto f(mathbf{v}, mathbf{w}) ) 是从 ( V ) 到 ( X ) 的线性映射。即对任意 ( mathbf{v}_1, mathbf{v}_2 in V ) 和标量 ( c, d in mathbb{F} )，有：

   $$ f(cmathbf{v}_1 + dmathbf{v}_2, mathbf{w}) = c f(mathbf{v}_1, mathbf{w}) + d f(mathbf{v}_2, mathbf{w}) $$

关键特性：

双线性映射不是整体线性的（即 ( f(cmathbf{v} + dmathbf{v}', amathbf{w} + bmathbf{w}') eq c a f(mathbf{v}, mathbf{w}) + cdots ) 的完整线性组合），而是要求在每个变量单独变化时保持线性。例如，展开 ( f(amathbf{u} + bmathbf{v}, cmathbf{x} + dmathbf{y}) ) 会得到四项：

$$ f(amathbf{u} + bmathbf{v}, cmathbf{x} + dmathbf{y}) = ac f(mathbf{u}, mathbf{x}) + ad f(mathbf{u}, mathbf{y}) + bc f(mathbf{v}, mathbf{x}) + bd f(mathbf{v}, mathbf{y}) $$

常见示例：

• 点积（内积）：( mathbb{R}^n times mathbb{R}^n to mathbb{R} )，定义为 ( (mathbf{x}, mathbf{y}) mapsto mathbf{x} cdot mathbf{y} = sum_{i=1}^n x_i y_i )。
• 矩阵乘法：固定矩阵 ( A ) 时，映射 ( (mathbf{x}, mathbf{y}) mapsto mathbf{x}^T A mathbf{y} )。
• 向量叉积（三维空间）：( mathbb{R} times mathbb{R} to mathbb{R} )。
• 张量积：( V times W to V otimes W ) 的典范映射。

对称双线性映射：

若额外满足 ( f(mathbf{v}, mathbf{w}) = f(mathbf{w}, mathbf{v}) ) 对所有 ( mathbf{v} in V, mathbf{w} in W ) 成立，则称为对称双线性映射。内积是典型的对称双线性函数。

应用领域：

双线性性在微分几何（度量张量）、量子力学（期望值计算）、线性代数（二次型理论）及工程优化中具有核心地位。例如，黎曼流形上的度量 ( g_p(mathbf{u}, mathbf{v}) ) 即是切空间上的对称双线性映射。

参考来源：

1. 双线性映射的严格定义与性质见Paul R. Halmos的经典教材《有限维向量空间》（Finite-Dimensional Vector Spaces），Springer出版社。
2. 对称双线性形式与内积的关系详见Serge Lang所著《线性代数》（Linear Algebra），Springer。
3. 张量积的构造与双线性性可参考Steven Roman的《高级线性代数》（Advanced Linear Algebra），Springer。

网络扩展资料

根据搜索结果和相关资料，"bilinearity"（双线性）是数学中的一个术语，主要用于描述函数或映射在两个变量上分别保持线性关系的特性。以下是详细解释：

1. 基本定义
   "Bilinearity"指一个函数对两个输入变量分别满足线性性质。具体来说，若函数$B: V times W rightarrow mathbb{R}$是双线性的，则需满足：

   • 对第一个变量的线性性：$B(ax + by, w) = aB(x, w) + bB(y, w)$
   • 对第二个变量的线性性：$B(v, cx + dy) = cB(v, x) + dB(v, y)$ 其中$a,b,c,d$为标量，$x,y,w$和$v$为向量空间中的元素。

2. 应用领域
   双线性性质常见于：

   • 张量分析：如双线性形式（Bilinear Form）；
   • 机器学习：核函数的设计；
   • 几何学：内积运算（如点积）即为双线性映射的典型例子。

3. 与线性的区别
   普通线性（linearity）仅针对单一变量的线性组合保持性质（如$f(ax + by) = af(x) + bf(y)$），而双线性要求对两个独立变量分别满足线性。

双线性是线性概念的扩展，强调函数在两组输入上的独立线性叠加特性，广泛应用于代数、几何及工程领域。

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