bilinearity是什麼意思，bilinearity的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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專業解析

雙線性（bilinearity）是數學中描述映射函數在兩個變量上分别具有線性性質的重要概念。具體而言，若函數 ( f: V times W to X )（其中 ( V, W ) 是域 ( mathbb{F} ) 上的向量空間，( X ) 也是 ( mathbb{F} ) 上的向量空間）滿足以下兩個條件，則稱為雙線性映射：

1. 固定第一個變量時，對第二個變量線性：

   對任意固定的 ( mathbf{v} in V )，映射 ( mathbf{w} mapsto f(mathbf{v}, mathbf{w}) ) 是從 ( W ) 到 ( X ) 的線性映射。即對任意 ( mathbf{w}_1, mathbf{w}_2 in W ) 和标量 ( a, b in mathbb{F} )，有：

   $$ f(mathbf{v}, amathbf{w}_1 + bmathbf{w}_2) = a f(mathbf{v}, mathbf{w}_1) + b f(mathbf{v}, mathbf{w}_2) $$

2. 固定第二個變量時，對第一個變量線性：

   對任意固定的 ( mathbf{w} in W )，映射 ( mathbf{v} mapsto f(mathbf{v}, mathbf{w}) ) 是從 ( V ) 到 ( X ) 的線性映射。即對任意 ( mathbf{v}_1, mathbf{v}_2 in V ) 和标量 ( c, d in mathbb{F} )，有：

   $$ f(cmathbf{v}_1 + dmathbf{v}_2, mathbf{w}) = c f(mathbf{v}_1, mathbf{w}) + d f(mathbf{v}_2, mathbf{w}) $$

關鍵特性：

雙線性映射不是整體線性的（即 ( f(cmathbf{v} + dmathbf{v}', amathbf{w} + bmathbf{w}') eq c a f(mathbf{v}, mathbf{w}) + cdots ) 的完整線性組合），而是要求在每個變量單獨變化時保持線性。例如，展開 ( f(amathbf{u} + bmathbf{v}, cmathbf{x} + dmathbf{y}) ) 會得到四項：

$$ f(amathbf{u} + bmathbf{v}, cmathbf{x} + dmathbf{y}) = ac f(mathbf{u}, mathbf{x}) + ad f(mathbf{u}, mathbf{y}) + bc f(mathbf{v}, mathbf{x}) + bd f(mathbf{v}, mathbf{y}) $$

常見示例：

• 點積（内積）：( mathbb{R}^n times mathbb{R}^n to mathbb{R} )，定義為 ( (mathbf{x}, mathbf{y}) mapsto mathbf{x} cdot mathbf{y} = sum_{i=1}^n x_i y_i )。
• 矩陣乘法：固定矩陣 ( A ) 時，映射 ( (mathbf{x}, mathbf{y}) mapsto mathbf{x}^T A mathbf{y} )。
• 向量叉積（三維空間）：( mathbb{R} times mathbb{R} to mathbb{R} )。
• 張量積：( V times W to V otimes W ) 的典範映射。

對稱雙線性映射：

若額外滿足 ( f(mathbf{v}, mathbf{w}) = f(mathbf{w}, mathbf{v}) ) 對所有 ( mathbf{v} in V, mathbf{w} in W ) 成立，則稱為對稱雙線性映射。内積是典型的對稱雙線性函數。

應用領域：

雙線性性在微分幾何（度量張量）、量子力學（期望值計算）、線性代數（二次型理論）及工程優化中具有核心地位。例如，黎曼流形上的度量 ( g_p(mathbf{u}, mathbf{v}) ) 即是切空間上的對稱雙線性映射。

參考來源：

1. 雙線性映射的嚴格定義與性質見Paul R. Halmos的經典教材《有限維向量空間》（Finite-Dimensional Vector Spaces），Springer出版社。
2. 對稱雙線性形式與内積的關系詳見Serge Lang所著《線性代數》（Linear Algebra），Springer。
3. 張量積的構造與雙線性性可參考Steven Roman的《高級線性代數》（Advanced Linear Algebra），Springer。

網絡擴展資料

根據搜索結果和相關資料，"bilinearity"（雙線性）是數學中的一個術語，主要用于描述函數或映射在兩個變量上分别保持線性關系的特性。以下是詳細解釋：

1. 基本定義
   "Bilinearity"指一個函數對兩個輸入變量分别滿足線性性質。具體來說，若函數$B: V times W rightarrow mathbb{R}$是雙線性的，則需滿足：

   • 對第一個變量的線性性：$B(ax + by, w) = aB(x, w) + bB(y, w)$
   • 對第二個變量的線性性：$B(v, cx + dy) = cB(v, x) + dB(v, y)$ 其中$a,b,c,d$為标量，$x,y,w$和$v$為向量空間中的元素。

2. 應用領域
   雙線性性質常見于：

   • 張量分析：如雙線性形式（Bilinear Form）；
   • 機器學習：核函數的設計；
   • 幾何學：内積運算（如點積）即為雙線性映射的典型例子。

3. 與線性的區别
   普通線性（linearity）僅針對單一變量的線性組合保持性質（如$f(ax + by) = af(x) + bf(y)$），而雙線性要求對兩個獨立變量分别滿足線性。

雙線性是線性概念的擴展，強調函數在兩組輸入上的獨立線性疊加特性，廣泛應用于代數、幾何及工程領域。

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