associative law是什么意思，associative law的意思翻译、用法、同义词、例句

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例句

专业解析

结合律（Associative Law）是数学和逻辑学中的基本运算规则，指在特定二元运算中，多个元素连续运算的结合顺序不影响最终结果。其核心表现为：对任意三个元素 (a, b, c) 和运算符号（如加法 (+) 或乘法 (times)），满足以下等式：

$$ (a circ b) circ c = a circ (b circ c) $$

核心特征与示例

1. 加法结合律

   数字或向量的加法满足结合律：

   ((3 + 5) + 2 = 3 + (5 + 2) = 10)

   在向量运算中：((vec{u} + vec{v}) + vec{w} = vec{u} + (vec{v} + vec{w})).

2. 乘法结合律

   标量或矩阵乘法（在维度匹配时）满足结合律：

   ((2 times 3) times 4 = 2 times (3 times 4) = 24)

   矩阵示例：若 (A, B, C) 可乘，则 ((AB)C = A(BC)).

3. 集合运算结合律

   交集与并集均满足结合律：

   ((A cap B) cap C = A cap (B cap C))

   ((A cup B) cup C = A cup (B cup C)).

不满足结合律的运算

• 减法：((10 - 5) - 2 = 3)，但 (10 - (5 - 2) = 7)
• 除法：((12 / 4) / 2 = 1.5)，而 (12 / (4 / 2) = 6)
• 向量叉积：三维空间中 ((vec{a} times vec{b}) times vec{c} eq vec{a} times (vec{b} times vec{c})).

理论意义

结合律是代数结构（如群、环、域）的核心公理之一。在抽象代数中，满足结合律的运算构成半群；若同时存在单位元和逆元，则形成群结构。例如，整数集在加法下构成阿贝尔群（交换群），其结合律保证了运算的确定性。

权威参考来源：

结合律的严格定义及代数性质可参见数学经典教材《代数学》（范德瓦尔登著）第1章，或剑桥大学数学系发布的运算律基础讲义。集合论部分参考了德国数学家康托尔的原始论文《集合论基础》（Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre）。

网络扩展资料

关联律（Associative Law）是数学和逻辑学中的基本概念，指在特定运算中，多个元素连续运算的顺序不影响最终结果。其核心是“括号的位置不影响结果”，即无论先计算哪两个元素，结果保持一致。

具体解释

1. 定义
   对于集合中的一种运算“∗”，若对任意三个元素 (a, b, c)，满足：
   $$(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)$$
   则称该运算满足关联律。

2. 常见满足关联律的运算

   • 加法：例如 ((3 + 5) + 2 = 3 + (5 + 2) = 10)。
   • 乘法：例如 ((2 × 4) × 3 = 2 × (4 × 3) = 24)。
   • 矩阵乘法（注意矩阵加法也满足，但矩阵乘法不满足交换律）。

3. 不满足关联律的运算

   • 减法：例如 ((8 - 5) - 2 = 1)，而 (8 - (5 - 2) = 5)，结果不同。
   • 除法：例如 ((12 ÷ 4) ÷ 2 = 1.5)，而 (12 ÷ (4 ÷ 2) = 6)，结果不同。

4. 应用领域

   • 代数结构：群、环、域等均要求运算满足结合律。
   • 编程与计算：运算符的结合性影响表达式求值顺序（如左结合、右结合）。

注意事项

• 关联律与交换律（运算顺序可交换）不同，两者独立存在。例如矩阵乘法满足结合律但不满足交换律。
• 若涉及非结合运算（如减法），需严格按括号顺序计算。

如需进一步验证复杂运算的结合性，建议通过具体数值代入公式测试。

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