幂群计数定理英文解释翻译、幂群计数定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 power group enumeration theorem

分词翻译：

幂群的英语翻译：

【计】 power group

计数的英语翻译：

computation; count; take count of
【计】 count; tally; tallying
【医】 count; counted number; counting
【经】 count

定理的英语翻译：

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

专业解析

幂群计数定理（Power Group Enumeration Theorem）是组合数学中用于计算群作用下对称结构数量的核心工具，其英文术语常表述为"enumeration under group action"。该定理扩展了Burnside引理的思想，通过将置换群与权重函数结合，系统化解决复杂对称系统的计数问题。

在数学表达上，设$G$为作用在集合$D$上的置换群，$H$为作用在集合$R$上的权群，则配置集合$R^D$的轨道数为： $$ frac{1}{|G|}sum_{gin G} Z_H(z_1,z_2,...;c(g)) $$ 其中$Z_H$表示权群的循环指标，$c(g)$为置换$g$的循环结构参数。这一公式被收录于Frank Harary与Edgar Palmer合著的《Graphical Enumeration》第三章，成为图论计数的理论基础。

该定理在多个领域展现应用价值：

化学异构体计算：通过分子对称群与原子置换群的相互作用，确定有机化合物的立体异构体数目
密码系统分析：评估对称加密算法中密钥空间的等效类划分
晶体结构分类：根据空间群作用计算晶格排列的等价类别

George Pólya在1937年发表的《Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen》中首次系统阐述相关原理，该论文后被翻译收录于《George Pólya: Collected Papers》第二卷。现代应用中，该定理常与计算机代数系统结合，实现复杂结构的自动化计数。

网络扩展解释

由于未搜索到与“幂群计数定理”直接相关的资料，此术语可能为特定领域或翻译差异导致的名称。结合组合数学中常见的群论计数方法，推测您可能指的是Pólya计数定理（Pólya Enumeration Theorem），它在群作用下的组合计数问题中广泛应用。以下是其核心解释：

1. 定理背景

Pólya定理由数学家George Pólya提出，用于计算在群作用（如对称操作）下不同组合结构的等价类数目。例如：

用不同颜色给正多面体顶点染色，求本质不同的染色方案数；
计算对称性约束下的分子结构异构体数量。

2. 核心思想

通过群的循环分解与生成函数，将对称性对计数的影响转化为数学公式：

群的作用：群元素（如旋转、反射）将对象划分为等价类（轨道）。
循环指标（Cycle Index）：对群中每个元素的循环结构进行多项式描述。
生成函数：结合颜色或状态的权重，生成所有可能配置的计数公式。

3. 公式表达

设群( G )作用在集合( X )上，颜色集合为( C )，则不同染色方案数为： $$ frac{1}{|G|} sum_{g in G} Z(g; c_1, c_2, ldots, c_k) $$ 其中：

( Z(g) )是元素( g )的循环指标，由循环分解得到；
( c_i )表示颜色在长度为( i )的循环中的替换方式（如单色时为颜色数，多色时为颜色多项式）。

4. 经典例子：项链问题

用( m )种颜色给( n )颗珠子染色（考虑旋转对称性），不同项链数目为： $$ frac{1}{n} sum_{d|n} phi(d) cdot m^{n/d} $$ 其中( phi )为欧拉函数，求和遍历( n )的所有因数( d )。此结果直接由Pólya定理推导而来。

5. 与Burnside引理的关系

Burnside引理是Pólya定理的特例（仅计数等价类数目，不涉及权重）。
Pólya定理扩展了生成函数，可处理带权重的复杂计数问题。

若您所指的“幂群计数定理”与上述内容不同，可能是术语差异，建议提供更多上下文或英文原名以便进一步确认。