Riemannian manifold是什么意思，Riemannian manifold的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

黎曼流形；黎曼廖

例句

What is nilpotent structure on Riemannian manifold?

黎曼流形上的幂零结构指什么？

Let m be a compact and connected Riemannian manifold.

设m是紧致连通的黎曼流形。

Also, the paper discuss the existence of the infinite closed geodesics of a compact no-simply connected Riemannian manifold.

并由此讨论了紧致的非单连通黎曼流形上无穷多的闭测地线存在性问题。

In the present paper, the algebra property of Riemannian manifold which is contained some special semi symmetric connection is given.

讨论特殊半对称联络的黎曼流形，给出了该流形曲率张量的一个代数结构。

Einstein manifold is a particular kind of Riemannian manifold, it has good characters, its definition is weaker than Riemannian manifold with constant sectional curvature.

爱因斯坦流形是特殊的一种黎曼流形，它有很好的特征，其定义弱于常曲率黎曼流形。

网络扩展资料

黎曼流形（Riemannian manifold）是微分几何中的核心概念，它结合了拓扑学、几何学和微积分的理论，用于描述具有局部欧几里得空间性质但全局可能弯曲的空间。以下从定义、结构和应用三个方面详细解释：

一、基本定义

流形（Manifold）
流形是一个拓扑空间，局部与欧几里得空间同胚（即局部可“平直化”）。例如，球面是一个二维流形，因为任意小区域都可映射到平面。
黎曼度量（Riemannian Metric）
在流形上定义一个光滑的二阶对称正定张量场（记作$g$），称为黎曼度量。它在每一点的切空间中赋予一个内积结构，从而可以测量：
- 向量的长度：$|v| = sqrt{g_p(v, v)}$；
- 向量间的夹角：$costheta = frac{g_p(v, w)}{|v| cdot |w|}$；
- 曲线的弧长：通过积分度量计算$inta^b sqrt{g{gamma(t)}(dot{gamma}(t), dot{gamma}(t))} dt$。

二、数学结构

切空间与度量张量
流形每一点$p$的切空间$T_pM$是欧几里得空间的推广，而度量张量$g$在不同点光滑变化，使得几何量（如曲率）可微调。
曲率
黎曼流形的核心特征是其曲率，包括：
- 截面曲率：描述二维切平面内的弯曲程度；
- 里奇曲率：反映体积在平行移动下的变化；
- 标量曲率：整体弯曲的标量表征。

三、应用与实例

广义相对论
爱因斯坦的时空模型是四维伪黎曼流形，但黎曼流形在经典引力理论中仍起基础作用。
计算机图形学与机器人学
用于处理非刚性物体的形变和运动轨迹优化。
数据科学
流形学习（如t-SNE、Isomap）假设高维数据分布于低维黎曼流形上，通过降维揭示结构。

经典例子

球面：二维黎曼流形，曲率为正；
双曲平面：负曲率流形，用于非欧几何研究；
平坦环面：局部欧几里得但全局紧致的流形。

黎曼流形通过将微积分工具扩展到弯曲空间，成为现代几何与物理研究的基础框架。

网络扩展资料二

Riemannian manifold是指一种具有黎曼度量的流形。黎曼度量是一种在欧几里得空间内推广到非欧几里得空间的概念，用来测量曲线的长度和角度的大小。Riemannian manifold通常用于描述引力在广义相对论下的作用。

Riemannian manifold在数学领域有广泛的应用。例如，它在拓扑学、微分几何和偏微分方程等领域都有重要的作用。

以下是一些关于Riemannian manifold的例句和近义词：

Example: The Riemannian manifold is an important concept in the study of differential geometry.
- 例句：黎曼流形是微分几何研究中的重要概念。
Synonym: Riemannian geometry
- 近义词：黎曼几何

反义词：不适定流形（indefinite manifold）

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