Riemannian manifold是什麼意思，Riemannian manifold的意思翻譯、用法、同義詞、例句

常用詞典

黎曼流形；黎曼廖

例句

What is nilpotent structure on Riemannian manifold?

黎曼流形上的幂零結構指什麼？

Let m be a compact and connected Riemannian manifold.

設m是緊緻連通的黎曼流形。

Also, the paper discuss the existence of the infinite closed geodesics of a compact no-simply connected Riemannian manifold.

并由此讨論了緊緻的非單連通黎曼流形上無窮多的閉測地線存在性問題。

In the present paper, the algebra property of Riemannian manifold which is contained some special semi symmetric connection is given.

讨論特殊半對稱聯絡的黎曼流形，給出了該流形曲率張量的一個代數結構。

Einstein manifold is a particular kind of Riemannian manifold, it has good characters, its definition is weaker than Riemannian manifold with constant sectional curvature.

愛因斯坦流形是特殊的一種黎曼流形，它有很好的特征，其定義弱于常曲率黎曼流形。

網絡擴展資料

黎曼流形（Riemannian manifold）是微分幾何中的核心概念，它結合了拓撲學、幾何學和微積分的理論，用于描述具有局部歐幾裡得空間性質但全局可能彎曲的空間。以下從定義、結構和應用三個方面詳細解釋：

一、基本定義

流形（Manifold）
流形是一個拓撲空間，局部與歐幾裡得空間同胚（即局部可“平直化”）。例如，球面是一個二維流形，因為任意小區域都可映射到平面。
黎曼度量（Riemannian Metric）
在流形上定義一個光滑的二階對稱正定張量場（記作$g$），稱為黎曼度量。它在每一點的切空間中賦予一個内積結構，從而可以測量：
- 向量的長度：$|v| = sqrt{g_p(v, v)}$；
- 向量間的夾角：$costheta = frac{g_p(v, w)}{|v| cdot |w|}$；
- 曲線的弧長：通過積分度量計算$inta^b sqrt{g{gamma(t)}(dot{gamma}(t), dot{gamma}(t))} dt$。

二、數學結構

切空間與度量張量
流形每一點$p$的切空間$T_pM$是歐幾裡得空間的推廣，而度量張量$g$在不同點光滑變化，使得幾何量（如曲率）可微調。
曲率
黎曼流形的核心特征是其曲率，包括：
- 截面曲率：描述二維切平面内的彎曲程度；
- 裡奇曲率：反映體積在平行移動下的變化；
- 标量曲率：整體彎曲的标量表征。

三、應用與實例

廣義相對論
愛因斯坦的時空模型是四維僞黎曼流形，但黎曼流形在經典引力理論中仍起基礎作用。
計算機圖形學與機器人學
用于處理非剛性物體的形變和運動軌迹優化。
數據科學
流形學習（如t-SNE、Isomap）假設高維數據分布于低維黎曼流形上，通過降維揭示結構。

經典例子

球面：二維黎曼流形，曲率為正；
雙曲平面：負曲率流形，用于非歐幾何研究；
平坦環面：局部歐幾裡得但全局緊緻的流形。

黎曼流形通過将微積分工具擴展到彎曲空間，成為現代幾何與物理研究的基礎框架。

網絡擴展資料二

Riemannian manifold是指一種具有黎曼度量的流形。黎曼度量是一種在歐幾裡得空間内推廣到非歐幾裡得空間的概念，用來測量曲線的長度和角度的大小。Riemannian manifold通常用于描述引力在廣義相對論下的作用。

Riemannian manifold在數學領域有廣泛的應用。例如，它在拓撲學、微分幾何和偏微分方程等領域都有重要的作用。

以下是一些關于Riemannian manifold的例句和近義詞：

Example: The Riemannian manifold is an important concept in the study of differential geometry.
- 例句：黎曼流形是微分幾何研究中的重要概念。
Synonym: Riemannian geometry
- 近義詞：黎曼幾何

反義詞：不適定流形（indefinite manifold）

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